横浜国立大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を $0 < a ≦ 1$ をみたす実数とする。関数

f (x) = 2 lo g (sin (a x)) - (lo g x)^{2} (1 < x < \frac{π}{2})

について、次の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ を微分せよ。

(2) $a = 1$ のとき、 $f (x)$ の極値を与える $x$ の個数を求めよ。

(3) $a ≦ \frac{1}{2}$ のとき、 $f (x)$ は極値をもたないことを示せ。ただし、 $lo g \frac{π}{2} < \frac{1}{2}$ を証明せずに用いてよい。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第5問

方針

(1)は合成関数として微分する。(2)は $a = 1$ で $f^{'} (x)$ を調べ、 $f^{''} (x) < 0$ から $f^{'} (x)$ が単調減少であることを示す。端で符号が変わるので零点は1つ。(3)は $y = a x ≦ π /4$ とおき、 $y cot y > 1/2$ と与えられた $lo g (π /2) < 1/2$ から $f^{'} (x) > 0$ を示す。

解答

(1)

f^{'} (x) = \frac{2 a cos ( a x )}{sin ( a x )} - \frac{2 lo g x}{x}

である。

(2)

$a = 1$ のとき

f^{'} (x) = 2 \frac{cos x}{sin x} - \frac{2 lo g x}{x}

である。さらに

f^{''} (x) = - \frac{2}{sin ^{2} x} - \frac{2 ( 1 - lo g x )}{x ^{2}}

である。 $1 < x < \frac{π}{2}$ では $lo g x < 1$ であるから、 $f^{''} (x) < 0$ である。よって $f^{'} (x)$ は単調減少する。

また $x$ を1に近づけると $f^{'} (x)$ は正であり、 $x$ を $\frac{π}{2}$ に近づけると $f^{'} (x)$ は負である。したがって $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ はただ1つ存在する。よって $f (x)$ の極値を与える $x$ の個数は1である。

(3)

$0 < a ≦ \frac{1}{2}$ とする。 $1 < x < \frac{π}{2}$ より $0 < a x < \frac{π}{4}$ である。 $y = a x$ とおくと、 $0 < y < \frac{π}{4}$ であり、 $sin y < y$ 、 $cos y > \frac{2}{2}$ より

y \frac{cos y}{sin y} > \frac{2}{2} > \frac{1}{2}

である。したがって

a x \frac{cos ( a x )}{sin ( a x )} > \frac{1}{2}

である。一方、問題文の条件より $lo g x < lo g \frac{π}{2} < \frac{1}{2}$ である。よって

\frac{a cos ( a x )}{sin ( a x )} - \frac{lo g x}{x} > 0

となり、 $f^{'} (x) > 0$ である。したがって $f (x)$ は定義域で単調増加し、極値をもたない。

横浜国立大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
理系数学第5問