横浜国立大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 0でない実数 $a$ に対して、定積分

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{a t} cos (2 t) d t, J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{a t} sin (2 t) d t

を $a$ の式で表せ。

(2) $x y$ 平面において、曲線

C : x = e^{- 2 t} cos t, y = e^{- t} sin t (0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})

と、 $x$ 軸と、 $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第1問

方針

(1)は部分積分を2つの積分 $I, J$ の連立関係として処理する。(2)では媒介変数表示の曲線が第1象限で $(1, 0)$ から $(0, e^{- π /2})$ へ進むことを確認し、面積を $- \int y d x$ で表す。得られた積分を(1)の $a = - 3$ の場合に帰着させる。

解答

(1)

部分積分により

I = [\frac{1}{2} e^{a t} sin 2 t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{a}{2} J = - \frac{a}{2} J

である。また

J = [- \frac{1}{2} e^{a t} cos 2 t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{a}{2} I = \frac{e ^{\frac{aπ}{2}} + 1}{2} + \frac{a}{2} I

である。これに $I = - \frac{a}{2} J$ を代入すると

J = \frac{2 ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4}, I = - \frac{a ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4}

である。

(2)

曲線は第1象限で $(1, 0)$ から $(0, e^{- \frac{π}{2}})$ へ進む。したがって求める面積は

S = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} y \frac{d x}{d t} d t

である。 $\frac{d x}{d t} = e^{- 2 t} (- 2 cos t - sin t)$ より

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} (2 sin t cos t + sin^{2} t) d t

である。すなわち

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} sin 2 t d t + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} cos 2 t d t

である。(1)で $a = - 3$ とすると

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} sin 2 t d t = \frac{2 ( 1 + e ^{- \frac{3 π}{2}} )}{13}, \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} cos 2 t d t = \frac{3 ( 1 + e ^{- \frac{3 π}{2}} )}{13}

である。また $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} d t = \frac{1 - e ^{- \frac{3 π}{2}}}{3}$ である。よって

S = \frac{8 - 5 e ^{- \frac{3 π}{2}}}{39}

である。

横浜国立大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2022年度
理系数学第1問