横浜国立大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

$z \neq = 1$ をみたす複素数 $z$ に対して、複素数 $w$ を

w = \frac{2 z - 3}{z - 1}

と定める。 $r > 1$ をみたす実数 $r$ に対して、 $z$ が $∣ z ∣ ≧ r$ の範囲を動くとき、 $w$ がとる値の範囲を $D_{r}$ と表す。次の問いに答えよ。

(1) $r = \frac{3}{2}$ のとき、 $D_{r}$ を複素数平面に図示せよ。

(2) $E_{r}$ を $D_{r}$ と実軸の共通部分とする。整数を表す点のうち、 $E_{r}$ に含まれる点の個数を $N_{r}$ とおく。 $N_{r} = 3$ となる $r$ の範囲を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第3問

方針

まず $w$ から $z$ を解き、 $∣ z ∣ ≧ r$ を $w$ の不等式 $∣ w - 3∣ ≧ r ∣ w - 2∣$ に直す。これは実軸上に中心をもつ円の内部を表す。ただし $w = 2$ はどの有限な $z$ からも得られないので除く。実軸との共通部分は区間から点2を除いたものになり、そこに含まれる整数の個数を端点で判定する。

解答

(1)

$w = \frac{2 z - 3}{z - 1}$ を $z$ について解くと

z = \frac{w - 3}{w - 2}

である。ただし $w = 2$ は実際には値としてとれない。したがって $∣ z ∣ ≧ r$ は

∣ w - 3∣ ≧ r ∣ w - 2∣

と同値である。

$w = x + y i$ とおくと、整理して

(x - \frac{2 r ^{2} - 3}{r ^{2} - 1})^{2} + y^{2} ≦ (\frac{r}{r ^{2} - 1})^{2}

となる。 $r = \frac{3}{2}$ のとき、中心は $\frac{6}{5}$ 、半径は $\frac{6}{5}$ である。したがって $D_{3/2}$ は、中心 $\frac{6}{5}$ 、半径 $\frac{6}{5}$ の円の周および内部から、点 $2$ を除いた範囲である。

(2)

実軸との共通部分は

\frac{2 r ^{2} - 3 - r}{r ^{2} - 1} ≦ x ≦ \frac{2 r ^{2} - 3 + r}{r ^{2} - 1}

から点 $2$ を除いたものである。端点を整理すると

2 - \frac{1}{r - 1} ≦ x ≦ 2 + \frac{1}{r + 1}

である。 $r > 1$ では右端は2より大きく $\frac{5}{2}$ より小さいので、整数2は区間内にあるが $D_{r}$ から除かれ、2より大きい整数は含まれない。

したがって $N_{r} = 3$ となるには、整数 $- 1, 0, 1$ が含まれ、 $- 2$ は含まれないことが必要十分である。すなわち

- 2 < 2 - \frac{1}{r - 1} ≦ - 1

である。 $r - 1 > 0$ より

\frac{1}{4} < r - 1 ≦ \frac{1}{3}

となるので

\frac{5}{4} < r ≦ \frac{4}{3}

である。

横浜国立大学 2022年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2022年度
理系数学第3問