東京大学 2022年度
文系数学 第2問

解答

(1)

曲線 $C:y=x^3-x$ の点 $P(\alpha ,{\alpha }^3-\alpha )$ における接線の傾きは $3{\alpha }^2-1$ である。

まず $3{\alpha }^2-1=0$ の場合を考える。このとき接線は水平であり、法線 $l$ は直線 $x=\alpha$ である。曲線 $C$ 上で $x=\alpha$ を満たす点は $P$ だけなので、相異なる3点で交わることはない。したがってこの場合は除かれる。

以下、$3{\alpha }^2-1\ne 0$ とする。法線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{3{\alpha }^2-1}$ であるから、$l$ の方程式は $y-({\alpha }^3-\alpha )=-\frac{x-\alpha }{3{\alpha }^2-1}$ である。曲線 $C$ との交点の $x$ 座標は $x^3-x-({\alpha }^3-\alpha )=-\frac{x-\alpha }{3{\alpha }^2-1}$ を満たす。左辺は $x^3-{\alpha }^3-(x-\alpha )=(x-\alpha )(x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1)$ であるから、$(x-\alpha )\left\{x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\right\}=0$ と因数分解できる。

したがって、$P$ 以外の2交点が相異なる実点になるためには、二次方程式 $x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=0$ が相異なる2実根を持てばよい。その判別式を $\Delta$ とすると

ここで $z=3{\alpha }^2-1$ とおくと $\Delta =3-z-\frac{4}{z}$ である。 $z>0$ のとき、相加相乗平均より $z+\frac{4}{z}\geqq 4$ であるから $\Delta =3-\left(z+\frac{4}{z}\right)\leqq -1<0$ である。よってこの場合は不適である。

一方、$z<0$ のときは $-z>0$ かつ $-4/z>0$ なので $\Delta =3-z-\frac{4}{z}>0$ である。このとき ${\alpha }^2<1/3$ であり、二次式に $x=\alpha$ を代入すると $3{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=z+\frac{1}{z}$ となる。$-1<z<0$ なのでこれは0ではない。したがって残り2根は $\alpha$ とも異なる。

以上より、求める範囲は $-\frac{1}{\sqrt{3}}<\alpha <\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

(2)

$\beta ,\gamma$ は $x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=0$ の2解である。したがって解と係数の関係より

である。ゆえに

(1)の範囲では $3{\alpha }^2-1\ne 0$ であるから ${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1\ne 0$ である。

(3)

(2)より $\frac{1}{{\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1}=-(3{\alpha }^2-1)=1-3{\alpha }^2$ である。したがって $u=4{\alpha }^3+1-3{\alpha }^2=4{\alpha }^3-3{\alpha }^2+1$ である。 $g(x)=4x^3-3x^2+1$ とおく。$x$ の範囲は $-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。微分すると $g^{\prime }(x)=12x^2-6x=6x(2x-1)$ であるから、増減は

である。

値を確認すると

また

である。左端は開区間の端点なので値 $-\frac{4}{3\sqrt{3}}$ はとらない。一方、$x=0$ は範囲内に含まれるので最大値 $1$ はとる。

したがって $u$ のとりうる値の範囲は $-\frac{4}{3\sqrt{3}}<u\leqq 1$ である。