東京大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とする。座標平面上の放物線 $y = x^{2} + a x + b$ を $C$ とおく。 $C$ は，原点で垂直に交わる2本の接線 $l_{1}, l_{2}$ を持つとする。ただし， $C$ と $l_{1}$ の接点 $P_{1}$ の $x$ 座標は， $C$ と $l_{2}$ の接点 $P_{2}$ の $x$ 座標より小さいとする。

(1) $b$ を $a$ で表せ。また $a$ の値はすべての実数をとりうることを示せ。

(2) $i = 1, 2$ に対し，円 $D_{i}$ を，放物線 $C$ の軸上に中心を持ち，点 $P_{i}$ で $l_{i}$ と接するものと定める。 $D_{2}$ の半径が $D_{1}$ の半径の2倍となるとき， $a$ の値を求めよ。

出典：東京大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線が原点を通る条件をまず式にする。接線の傾きは $2 t + a$ 、切片は $- t^{2} + b$ なので、原点通過から $t^{2} = b$ が出る。2本の接線の接点は $- b, b$ と表せ、垂直条件は傾きの積で処理できる。後半では、円の中心が放物線の軸 $x = - a /2$ 上にあり、半径が接線に垂直であることを使う。中心から接点までの横方向のずれを傾き $m_{i}$ で表し、半径 $r_{i} = m_{i}^{2} + 1 /2$ に直して半径比を解く。

解答

(1)

放物線 $C : y = x^{2} + a x + b$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とする。この点は $(t, t^{2} + a t + b)$ であり、この点における接線の傾きは $2 t + a$ である。したがって接線の方程式は $y - (t^{2} + a t + b) = (2 t + a) (x - t)$ すなわち $y = (2 t + a) x - t^{2} + b$ である。この接線が原点を通るための条件は $0 = - t^{2} + b$ であるから $t^{2} = b$ である。

2本の接線が存在し、接点の $x$ 座標が異なるためには $b > 0$ であり、2つの接点の $x$ 座標は、条件の順に $t_{1} = - b, t_{2} = b$ である。このとき2本の接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とすると $m_{1} = a - 2 b, m_{2} = a + 2 b$ である。2本の接線は原点で垂直に交わるので $m_{1} m_{2} = - 1$ である。よって $(a - 2 b) (a + 2 b) = a^{2} - 4 b = - 1$ となり、 $b = \frac{a ^{2} + 1}{4}$ を得る。

逆に、任意の実数 $a$ に対して $b = \frac{a ^{2} + 1}{4}$ とおくと $b > 0$ である。したがって $t = \pm b$ に対応する2本の異なる接線があり、その傾きの積は上の計算より $- 1$ である。ゆえに2本の接線は原点で垂直に交わる。したがって $a$ はすべての実数をとりうる。

(2)

(1)より $s = b = \frac{a ^{2} + 1}{2}$ とおくと、 $t_{1} = - s, t_{2} = s$ である。放物線の軸は $x = - \frac{a}{2}$ である。

接線 $l_{i}$ の傾きを $m_{i}$ とする。すなわち $m_{1} = a - 2 s = a - a^{2} + 1, m_{2} = a + 2 s = a + a^{2} + 1$ である。このとき $m_{1} < 0 < m_{2}$ であり、また $m_{1} m_{2} = - 1$ である。

円 $D_{i}$ の中心を $O_{i}$ とする。 $O_{i}$ は軸 $x = - a /2$ 上にあり、半径 $O_{i} P_{i}$ は接線 $l_{i}$ に垂直である。接点 $P_{i}$ の $x$ 座標は $t_{i}$ なので、 $P_{i}$ から軸までの横方向のずれは $t_{i} + \frac{a}{2} = \frac{2 t _{i} + a}{2} = \frac{m _{i}}{2}$ である。半径 $O_{i} P_{i}$ は傾き $- 1/ m_{i}$ の直線上にあるから、その縦方向のずれの大きさは $- \frac{1}{m _{i}} \cdot \frac{m _{i}}{2} = \frac{1}{2}$ である。したがって半径 $r_{i}$ は

r_{i} = (\frac{m _{i}}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{m _{i}^{2} + 1}{2}

である。

条件 $r_{2} = 2 r_{1}$ より $\frac{m _{2}^{2} + 1}{2} = 2 \cdot \frac{m _{1}^{2} + 1}{2}$ である。両辺を2乗して $m_{2}^{2} + 1 = 4 (m_{1}^{2} + 1)$ を得る。ここで $m_{1} m_{2} = - 1$ だから、 $u = m_{1}^{2}$ とおくと $m_{2}^{2} = 1/ u$ である。よって $\frac{1}{u} + 1 = 4 u + 4$ すなわち $4 u^{2} + 3 u - 1 = 0$ である。因数分解すると $(4 u - 1) (u + 1) = 0$ であり、 $u > 0$ より $u = \frac{1}{4}$ である。 $m_{1} < 0$ なので $m_{1} = - \frac{1}{2}$ である。また $m_{1} m_{2} = - 1$ から $m_{2} = 2$ である。一方 $m_{1} + m_{2} = (a - 2 s) + (a + 2 s) = 2 a$ だから $2 a = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ となる。したがって $a = \frac{3}{4}$ である。

東京大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2022年度
文系数学第1問