東京大学 2021年度
理系数学 第6問

解答

(1)

右辺を展開すると

である。これが $x^4+bx+c$ と恒等的に等しいので，係数比較より $q+r=p^2,p(r-q)=b,qr=c$ である。

いま $p\ne 0$ だから $r-q=\frac{b}{p}$ である。和 $q+r=p^2$ と差 $r-q=b/p$ から

である。

(2)

$y=p^2$ とおく。(1) より

である。$qr=c$ だから $c=\frac{1}{4}\left(y^2-\frac{b^2}{y}\right)$ であり，両辺に $4y$ をかけると $y^3-4cy-b^2=0$ を得る。

ここで $b=(a^2+1)(a+2),c=-\left(a+\frac{3}{4}\right)(a^2+1)$ を代入すると $y^3+(4a+3)(a^2+1)y-(a^2+1{)}^2(a+2{)}^2=0$ である。この左辺は $\{y-(a^2+1)\}\{y^2+(a^2+1)y+(a^2+1)(a+2{)}^2\}$ と因数分解できる。したがって $y=p^2$ に戻せば $\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2{)}^2\}=0$ である。

よって，例えば $f(t)=t^2+1,g(t)=(t^2+1)(t+2{)}^2$ とすればよい。

(3)

与えられた4次式が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるとする。先頭係数は1であり，$x^3$ の係数は0なので，必要なら各因子を定数倍して $(x^2+px+q)(x^2-px+r)$ と書ける。ただし $p,q,r$ は有理数である。

まず $p=0$ の場合を調べる。このとき右辺の $x$ の係数は0であるから $(a^2+1)(a+2)=0$ でなければならない。整数 $a$ では $a=-2$ だけが候補である。しかし $a=-2$ のとき定数項は $-\left(-2+\frac{3}{4}\right)(5)=\frac{25}{4}$ であり，$p=0$ なら $q+r=0$，$qr=25/4$ が必要になる。これは $-q^2=\frac{25}{4}$ を意味し，実数 $q$ では不可能である。したがって $p=0$ は起こらない。

よって $p\ne 0$ としてよい。(2) より，$y=p^2$ は $y=a^2+1$ または $y^2+(a^2+1)y+(a^2+1)(a+2{)}^2=0$ を満たす。ところが $y=p^2>0$ であり，$a^2+1>0$ なので，後者の左辺は正である。したがって後者は不可能で，必ず $p^2=a^2+1$ である。 $p$ は有理数である。整数 $a^2+1$ が有理数の平方であるなら，それは整数の平方である。よってある整数 $m\geqq 0$ を用いて $a^2+1=m^2$ と書ける。これは $(m-a)(m+a)=1$ を意味する。2つの因数は整数なので $m-a=1,m+a=1$ であり，$a=0$ を得る。

実際，$a=0$ のとき与えられた4次式は $x^4+2x-\frac{3}{4}$ であり，$x^4+2x-\frac{3}{4}=\left(x^2+x-\frac{1}{2}\right)\left(x^2-x+\frac{3}{2}\right)$ と有理数係数の2次式の積に分解できる。したがって求める整数は $a=0$ のみである。