東京大学 2021年度理系数学第3問解答・解説

問題

関数

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 3}

に対して， $y = f (x)$ のグラフを $C$ とする。点 $A (1, f (1))$ における $C$ の接線を

l : y = g (x)

とする。

(1) $C$ と $l$ の共有点で $A$ と異なるものがただ1つ存在することを示し，その点の $x$ 座標を求めよ。

(2) (1)で求めた共有点の $x$ 座標を $α$ とする。定積分

\int_{α}^{1} {f (x) - g (x)}^{2} d x

を計算せよ。

出典：東京大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

まず $f^{'} (x)$ を求め， $x = 1$ における接線 $g (x)$ を出す。 $f (x) = g (x)$ は接点 $x = 1$ を重解としてもつので，因数分解して残りの共有点 $x = - 3$ を得る。積分では $f (x) - g (x)$ を $- (x - 1)^{2} (x + 3) / (8 (x^{2} + 3))$ と因数分解し，二乗後に部分分数分解する。多項式部分， $1/ (x^{2} + 3)$ ， $1/ (x^{2} + 3)^{2}$ をそれぞれ評価し，最後に対数項と三角置換の項を合成する。

解答

(1)

$f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 3}$ より $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 3 ) - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{3 - x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ である。したがって $f (1) = \frac{1}{4}, f^{'} (1) = \frac{1}{8}$ であるから，点 $A (1, f (1))$ における接線は $g (x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} (x - 1) = \frac{x + 1}{8}$ である。

共有点は $\frac{x}{x ^{2} + 3} = \frac{x + 1}{8}$ を満たす。両辺に $8 (x^{2} + 3)$ をかけると $8 x = (x + 1) (x^{2} + 3)$ すなわち $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = 0$ である。左辺は $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = (x - 1)^{2} (x + 3)$ と因数分解できる。 $x = 1$ は接点 $A$ に対応するので， $A$ と異なる共有点はただ1つであり，その $x$ 座標は $α = - 3$ である。

(2)

(1) の計算より

f (x) - g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 3} - \frac{x + 1}{8} = - \frac{x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 3}{8 ( x ^{2} + 3 )} = - \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 3 )}{8 ( x ^{2} + 3 )}

である。したがって求める積分を $I$ とすると $I = \int_{- 3}^{1} \frac{( x - 1 ) ^{4} ( x + 3 ) ^{2}}{64 ( x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x$ である。

分子を展開して部分分数分解すると

\frac{( x - 1 ) ^{4} ( x + 3 ) ^{2}}{64 ( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{2}}{64} + \frac{x}{32} - \frac{15}{64} - \frac{x - 7}{4 ( x ^{2} + 3 )} - \frac{3}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}

である。多項式部分の積分は

\int_{- 3}^{1} (\frac{x ^{2}}{64} + \frac{x}{32} - \frac{15}{64}) d x = - \frac{11}{12}

である。

また

\int_{- 3}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 3} d x = \frac{1}{2} [lo g (x^{2} + 3)]_{- 3}^{1} = - \frac{1}{2} lo g 3

であり，

\int_{- 3}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 3} = [\frac{1}{3} arctan \frac{x}{3}]_{- 3}^{1} = \frac{π}{2 3}

である。

さらに $x = 3 tan θ$ とおくと， $x = - 3$ で $θ = - \frac{π}{3}$ ， $x = 1$ で $θ = \frac{π}{6}$ であり，

\int_{- 3}^{1} \frac{d x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{3}{9} \int_{- π /3}^{π /6} cos^{2} θ d θ = \frac{1}{12} + \frac{3 π}{36}

である。

以上より

I = - \frac{11}{12} - \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} lo g 3) + \frac{7}{4} \cdot \frac{π}{2 3} - 3 (\frac{1}{12} + \frac{3 π}{36}) = - \frac{7}{6} + \frac{1}{8} lo g 3 + \frac{5 3 π}{24}

である。

東京大学 2021年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2021年度
理系数学第3問