東京大学 2021年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数 $a, b, c$ に対して整式 $f (z) = a z^{2} + b z + c$ を考える。 $i$ を虚数単位とする。

(1) $α, β, γ$ を複素数とする。 $f (0) = α$ ， $f (1) = β$ ， $f (i) = γ$ が成り立つとき， $a, b, c$ をそれぞれ $α, β, γ$ で表せ。

(2) $f (0)$ ， $f (1)$ ， $f (i)$ がいずれも1以上2以下の実数であるとき， $f (2)$ のとりうる範囲を複素平面上に図示せよ。

出典：東京大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1) は $f (0), f (1), f (i)$ を代入して得られる3本の一次式から $a, b, c$ を解く。(2) は $α = f (0), β = f (1), γ = f (i)$ が実数区間 $[1, 2]$ を独立に動くと見て， $f (2)$ の実部・虚部を $α, β, γ$ の一次式で表す。 $α = 1 + u, β = 1 + v, γ = 1 + w$ とおけば単位立方体の平面への線形写像になり，8個の頂点の像から外側の6点を選んで，周を含む六角形として図示する。

解答

(1)

$f (0) = c = α$ である。また $f (1) = a + b + c = β, f (i) = - a + bi + c = γ$ より $a + b = β - α, - a + bi = γ - α$ である。

第1式と第2式を用いて $b$ を求めると $(1 + i) b = (β - α) + (γ - α) = β + γ - 2 α$ だから

b = \frac{β + γ - 2 α}{1 + i} = \frac{( β + γ - 2 α ) ( 1 - i )}{2}

である。さらに $a = β - α - b = \frac{β - γ + i ( β + γ - 2 α )}{2}$ である。したがって

a = \frac{β - γ + i ( β + γ - 2 α )}{2}, b = \frac{( β + γ - 2 α ) ( 1 - i )}{2}, c = α

である。

(2)

$α = f (0), β = f (1), γ = f (i)$ とおく。仮定より $α, β, γ$ はいずれも実数で $1 ≦ α, β, γ ≦ 2$ を満たす。

(1) を用いると

f (2) = 4 a + 2 b + c = 4 β - 3 α - \frac{2 ( β + γ - 2 α )}{1 + i} = (3 β - γ - α) + i (β + γ - 2 α)

である。

ここで $α = 1 + u, β = 1 + v, γ = 1 + w$ とおくと $0 ≦ u, v, w ≦ 1$ であり， $f (2) = 1 + (- u + 3 v - w) + i (- 2 u + v + w)$ となる。 $(u, v, w)$ が直方体 $0 ≦ u, v, w ≦ 1$ を動くとき，その線形な像は頂点の像からできる領域である。8個の頂点を写すと

(u, v, w) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 1, 1) f (2) 1 - 2 i 4 + i i 3 - i - 1 - i 3 + 2 i 2

である。このうち $1$ と $2$ は内部の点であり，外側の頂点は $- 1 - i, - 2 i, 3 - i, 4 + i, 3 + 2 i, i$ である。したがって $f (2)$ のとりうる範囲は，これら6点をこの順に結んでできる六角形の周および内部である。

別解。上の式は $f (2) = 1 + u (- 1 - 2 i) + v (3 + i) + w (- 1 + i)$ とも書ける。したがって点 $1$ から3本の線分方向 $- 1 - 2 i, 3 + i, - 1 + i$ を独立に足し合わせた図形として描いても，同じ六角形が得られる。

東京大学 2021年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2021年度
理系数学第2問