問題
複素数平面上の原点以外の点に対して，とする。
(1) を0でない複素数とし，点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線をとする。点が直線上を動くとき，点の軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。
(2) 1の3乗根のうち，虚部が正であるものをとする。点と点を結ぶ線分上を点が動くときの点の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ。
% 図は省略
出典：東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
(1)は垂直二等分線をと表し，展開してからを代入する。両辺にをかけるとの円の方程式になり，だけは対応するがないので除く。(2)ではを具体的に書き，線分が直線上の有限部分であることを使う。これはの垂直二等分線なので，対応する円のうち，端点と中点の像から左側の弧を選ぶ。
解答
(1)
点が，原点と点を結ぶ線分の垂直二等分線上にあることは と表せる。両辺を2乗して整理すると より である。 なのでであり，である。これを代入すると である。両辺にをかけると を得る。これを平方完成すると である。
したがって円の中心は 半径は である。ただしはどの有限のにも対応しないので，この円から点を除いたものが軌跡である。
(2)
1の3乗根のうち虚部が正であるものは であり， である。したがって線分は，直線 上で を満たす部分である。
この直線は，原点と点を結ぶ線分の垂直二等分線である。よって(1)でとした円 上に移る。
あとは，線分のどの部分に対応する弧かを確認する。端点では
である。また線分の中点では である。したがって軌跡は，円のうち，とを結び，点を通る弧である。
すなわち を満たす部分であり，両端を含む。