問題
座標平面上で座標と座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点を考える。
(a) 最初に，点は原点にある。
(b) ある時刻で点が格子点にあるとき，その1秒後の点の位置は，隣接する格子点，，，のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれである。
(1) 点が，最初から6秒後に直線上にある確率を求めよ。
(2) 点が，最初から6秒後に原点にある確率を求めよ。
出典：東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)は文科第3問と同じくを追う。各歩では確率ずつ，に変化するので，6歩後にとなる場合を二項係数で数える。(2)は原点に戻るための必要十分条件を，右と左の回数が等しく，上と下の回数が等しいことに分解する。右左をそれぞれ回，上下をそれぞれ回とおき，で操作列を多項係数により数える。
解答
(1)
とおく。右または下へ動くとはだけ変化し，上または左へ動くとはだけ変化する。したがって1回ごとに，は確率で，確率でだけ変化する。
最初は原点なのでである。6秒後に直線上にあるためには，6回の変化の和が0であればよい。これはが3回，が3回起こることと同値である。よって求める確率は である。
(2)
6秒後に原点へ戻るためには，右へ動いた回数と左へ動いた回数が等しく，かつ上へ動いた回数と下へ動いた回数が等しくなければならない。右と左の回数をそれぞれ回，上と下の回数をそれぞれ回とすると より である。
したがってについて数える。各に対し，であり，操作列の数は である。よって原点に戻る操作列の総数は である。各項は
なので，合計は 通りである。
全操作列は通りであるから，求める確率は である。