東京大学 2015年度文系数学第3問解答・解説

問題

$l$ を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに，以下の3条件(i)，(ii)，(iii)で定まる円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ を考える。

(i) 円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ は2つの不等式 $x ≧ 0$ ， $y ≧ 0$ で定まる領域に含まれる。

(ii) 円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ は直線 $l$ と同一点で接する。

(iii) 円 $C_{1}$ は $x$ 軸と点 $(1, 0)$ で接し，円 $C_{2}$ は $y$ 軸と接する。

円 $C_{1}$ の半径を $r_{1}$ ，円 $C_{2}$ の半径を $r_{2}$ とする。 $8 r_{1} + 9 r_{2}$ が最小となるような直線 $l$ の方程式と，その最小値を求めよ。

% 図は省略

出典：東京大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

直線 $l$ が $x$ 軸となす角を $θ$ とし、直線を $x sin θ - y cos θ = 0$ と表す。円 $C_{1}$ の中心は $(1, r_{1})$ なので、直線との距離が $r_{1}$ であることから $r_{1}$ を求め、同時に共通接点を足の座標として出す。円 $C_{2}$ はその共通接点から直線に垂直な向きに半径分進んだ点を中心に持つため、 $y$ 軸への接触条件で $r_{2}$ を求める。最後は $u = tan (θ /2)$ により $8 r_{1} + 9 r_{2}$ を一変数化し、平方完成で最小値を出す。

解答

直線 $l$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ とする。傾きは正であり、2つの円は第1象限内にあるので $0 < θ < \frac{π}{2}$ である。直線 $l$ は $y = (tan θ) x$ であり、同値に $x sin θ - y cos θ = 0$ と書ける。

まず円 $C_{1}$ を考える。 $C_{1}$ は $x$ 軸と点 $(1, 0)$ で接するから、その中心は $(1, r_{1})$ である。この中心から直線 $l$ までの距離が $r_{1}$ である。第1象限の配置では $sin θ - r_{1} cos θ > 0$ なので $sin θ - r_{1} cos θ = r_{1}$ が成り立つ。したがって $r_{1} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ}$ である。

このとき、中心 $(1, r_{1})$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足が接点である。単位法線ベクトルを $(sin θ, - cos θ)$ とみると、接点は

(1, r_{1}) - r_{1} (sin θ, - cos θ) = (1 - r_{1} sin θ, r_{1} + r_{1} cos θ)

である。ここに $r_{1} = \frac{sin θ}{1 + cos θ}$ を代入すると

1 - r_{1} sin θ = 1 - \frac{sin ^{2} θ}{1 + cos θ} = 1 - (1 - cos θ) = cos θ

かつ $r_{1} (1 + cos θ) = sin θ$ であるから、共通接点は $(cos θ, sin θ)$ である。

次に円 $C_{2}$ を考える。 $C_{2}$ も同じ点で直線 $l$ に接し、しかも第1象限内で $y$ 軸に接する。したがって、中心は共通接点から直線 $l$ に垂直な向きへ $r_{2}$ だけ進んだ点 $(cos θ - r_{2} sin θ, sin θ + r_{2} cos θ)$ である。 $y$ 軸に接する円の中心の $x$ 座標は半径に等しいので $cos θ - r_{2} sin θ = r_{2}$ となる。よって $r_{2} = \frac{c o s θ}{1 + s i n θ}$ である。

ここで $u = tan \frac{θ}{2} (0 < u < 1)$ とおく。半角公式より $sin θ = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}, cos θ = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}$ である。したがって $r_{1} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ} = u$ であり、また

r_{2} = \frac{cos θ}{1 + sin θ} = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2} + 2 u} = \frac{1 - u}{1 + u}

である。

よって $8 r_{1} + 9 r_{2} = 8 u + 9 \frac{1 - u}{1 + u} = \frac{8 u ^{2} - u + 9}{1 + u}$ である。これを $7$ と比べると

8 u + 9 \frac{1 - u}{1 + u} - 7 = \frac{8 u ^{2} - u + 9 - 7 ( 1 + u )}{1 + u} = \frac{8 u ^{2} - 8 u + 2}{1 + u} = \frac{2 ( 2 u - 1 ) ^{2}}{1 + u}

である。 $0 < u < 1$ では $1 + u > 0$ だから $8 r_{1} + 9 r_{2} ≧ 7$ であり、等号は $2 u - 1 = 0, u = \frac{1}{2}$ のときに限る。

このとき $tan θ = \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$ である。したがって求める直線は $y = \frac{4}{3} x$ であり、最小値は $7$ である。なおこのとき $r_{1} = \frac{1}{2}, r_{2} = \frac{1}{3}$ で、確かに $8 r_{1} + 9 r_{2} = 7$ となる。

東京大学 2015年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 2015年度
文系数学第3問