問題
以下の命題A，Bそれぞれに対し，その真偽を述べよ。また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ。
命題A が正の整数ならば，が成り立つ。
命題B 整数，，がをみたすならば，が成り立つ。
出典：東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
命題Aは全称命題なので、左辺と右辺の差を整数値で確認し、1つでも負になる例を探せばよい。命題Bは条件式に が対称に現れるため、 と を導入して と を消去する。最後は が整数条件に反することを確認し、得られた二次式が必ず負になることを示す。
解答
命題Aは偽である。実際， とすると
である。したがって となり，命題Aの反例が得られる。
命題Bは真である。以下で証明する。まず とおく。条件 は であるから である。したがって，示すべき式の左辺は と書ける。ここに を代入すると である。
さらに より である。よって
となる。
ここで とすると条件式から となり，整数 が存在しない。したがって は でない整数である。ゆえに のとき であり， のときも明らかに である。また だから が従う。よって命題Bは真である。