東京大学 2015年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上の2点 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ を考える。また， $P$ を座標平面上の点とし，その $x$ 座標の絶対値は1以下であるとする。次の条件(i)または(ii)をみたす点 $P$ の範囲を図示し，その面積を求めよ。

(i) 頂点の $x$ 座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで，点 $A, P, B$ をすべて通るものがある。

(ii) 点 $A, P, B$ は同一直線上にある。

% 図は省略

出典：東京大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

点 $A, B$ を通る2次関数を、直線 $A B$ と $x = \pm 1$ で消える二次式の和として $y = - x + t (x^{2} - 1)$ と表す。 $t \neq = 0$ なら頂点の $x$ 座標は $1/ (2 t)$ であり、条件(i)は $0 < ∣ t ∣ ≦ 1/2$ になる。条件(ii)は $t = 0$ の直線に対応するので、全体として $∣ t ∣ ≦ 1/2$ を動かせばよい。固定した $x$ で上下端を求め、放物線2本に挟まれた面積を積分する。

解答

点 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ を通る直線は $y = - x$ である。点 $A, B$ を通る2次関数は、この直線に $x = - 1, 1$ で $0$ となる項を加えて $y = - x + t (x^{2} - 1) (t \neq = 0)$ と表される。実際， $x = - 1$ のとき $y = 1$ ， $x = 1$ のとき $y = - 1$ である。

$t \neq = 0$ のとき、この2次関数は $y = t x^{2} - x - t$ であるから、頂点の $x$ 座標は $- \frac{- 1}{2 t} = \frac{1}{2 t}$ である。条件(i)は頂点の $x$ 座標の絶対値が $1$ 以上であることなので $\frac{1}{2 t} ≧ 1$ すなわち $0 < ∣ t ∣ ≦ \frac{1}{2}$ である。

一方、条件(ii)は $A, P, B$ が同一直線上にあること、すなわち $y = - x$ であり、これは上の式で $t = 0$ とした場合に対応する。したがって条件(i)または(ii)を満たす点 $P = (x, y)$ は、 $∣ x ∣ ≦ 1$ のもとで $y = - x + t (x^{2} - 1), ∣ t ∣ ≦ \frac{1}{2}$ と表される点である。

ここで $- 1 ≦ x ≦ 1$ では $x^{2} - 1 ≦ 0$ であるから $y + x = t (x^{2} - 1)$ が取り得る範囲は $- \frac{1 - x ^{2}}{2} ≦ y + x ≦ \frac{1 - x ^{2}}{2}$ である。よって図示すべき範囲は

- 1 ≦ x ≦ 1, - x - \frac{1 - x ^{2}}{2} ≦ y ≦ - x + \frac{1 - x ^{2}}{2}

である。境界は2本の放物線 $y = - x \pm \frac{1 - x ^{2}}{2}$ であり、両端 $x = \pm 1$ ではそれぞれ点 $A, B$ に縮む。

したがって面積は縦の長さを積分して

S = \int_{- 1}^{1} {(- x + \frac{1 - x ^{2}}{2}) - (- x - \frac{1 - x ^{2}}{2})} d x = \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{4}{3}

である。よって求める面積は $\frac{4}{3}$ である。

% 図は省略

東京大学 2015年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 2015年度
文系数学第2問