問題
座標平面の原点をで表す。
線分 上の点と，線分 上の点が，線分と線分の長さの和が6となるように動く。このとき，線分の通過する領域をとする。
(1) ををみたす実数とするとき，点がに入るようなの範囲を求めよ。
(2) を図示せよ。
% 図は省略
方針
点 の 座標を とおくと、長さ条件 から の座標も で表せる。固定した に対して、線分 上で となる点の 座標を の2次式として求める。あとは の許される範囲 上で、下向きに開く2次式の最大・最小を場合分けする。
解答
(1)
点 を とおく。このとき である。点 を とおくと、 であり である。条件 より だから である。よって となる。 なら であるから、 の範囲条件も満たしている。
線分 上の点を と表す。この点の 座標が であるとすると より である。したがって は と同値であり、固定した に対する の範囲は である。
この点の 座標を とすると
右辺を とおく。これは下向きに開く2次式で、頂点は であり、その値は である。また必要になる端点の値は
である。 のとき、 の範囲は である。この区間に頂点 が含まれるので、最大値は 、最小値は両端の値 である。 のとき、 の範囲は であり、頂点はこの区間に含まれる。端点では で、 では だから、最小値は 、最大値は である。 のとき、 の範囲は であり、頂点はこの区間に含まれる。端点では で、 だから、最小値は 、最大値は である。 のとき、 の範囲は であり、頂点 は 以上である。したがってこの区間では は増加し、最小値は 、最大値は である。
以上をまとめると、点 が に入るための の範囲は
および
である。
(2)
(1) より、領域 は次のように図示される。下側の境界は である。上側の境界は と である。したがって
である。図では、下側は原点を頂点とする折れ線、上側は で放物線、 で直線となる。端点 と では上下の境界が一致する。