東京大学 2014年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 関数、微分
- 解法
- 式変形、微分による最大最小、範囲評価
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 14分
問題
以下の問いに答えよ。
(1) tを実数の定数とする。実数全体を定義域とする関数f(x)を
f(x)=−2x2+8tx−12x+t3−17t2+39t−18
と定める。このとき，関数f(x)の最大値をtを用いて表せ。
(2) (1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする。tがt≧−21の範囲を動くとき，g(t)の最小値を求めよ。
出典：東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) はまず x について平方完成し、係数が負の2次関数であることから頂点で最大値をとることを明示する。最大値は t の3次式 g(t) になる。(2) は指定範囲 t≧−1/2 上で g(t) の最小値を調べる。導関数で増減を確認し、左端 −1/2 と極小点 t=5 の値を比較する。
解答
(1)
x について整理すると f(x)=−2x2+(8t−12)x+t3−17t2+39t−18 である。x2 の係数が負なので、この2次関数は上に凸であり、平方完成して頂点を読めば最大値が求まる。
実際、
f(x)=−2{x2−(4t−6)x}+t3−17t2+39t−18=−2{x−(2t−3)}2+2(2t−3)2+t3−17t2+39t−18=−2{x−(2t−3)}2+t3−9t2+15t
である。したがって、x=2t−3 のとき最大となり、最大値は t3−9t2+15t である。
(2)
(1) の最大値を g(t)=t3−9t2+15t とおく。微分すると g′(t)=3t2−18t+15=3(t−1)(t−5) である。よって、g(t) は t<1,5<t で増加し、1<t<5 で減少する。
したがって、範囲 t≧−1/2 で最小値の候補は左端 t=−1/2 と極小点 t=5 である。まず g(5)=125−225+75=−25 である。また、t=−1/2 では
g(−21)=−221−29−215=−29−2231.
これと −25 を比較すると
g(−21)−g(5)=241−2231=22412−31>0
である。最後の不等式は 412>31 から従う。
よって左端の値よりも g(5) の方が小さい。求める最小値は −25 である。
