問題
を自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。
白球と赤球があわせて1個以上入っている袋に対して，次の操作（＊）を考える。
（＊）袋から球を1個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋の中身が白球個，赤球1個となるようにする。
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋へ戻すことなく，袋の中身はそのままにする。
はじめに袋の中に，白球が個，赤球が1個入っているとする。この袋に対して操作（＊）を繰り返し行う。
回目に取り出した球が赤球である確率をとする。ただし，袋の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1) ，を求めよ。
(2) に対してを求めよ。
方針
赤球が出る確率を、直前の回に赤球が出たか白球が出たかで整理する。初回だけ袋の白球数が 個であり、白球を引いた後は常に白球 個、赤球1個に戻る。したがって では、前回白球を引いた場合に限って次回赤球を引く可能性があり、 という一次漸化式になる。あとは定数解 からのずれを等比数列として解く。
解答
(1)
はじめ、袋には白球が 個、赤球が1個入っている。したがって1回目に赤球を取り出す確率は である。
2回目に赤球を取り出すには、1回目に白球を取り出している必要がある。1回目に白球を取り出す確率は であり、その後、操作の規則により袋の中身は白球 個、赤球1個になる。したがって、その状態から赤球を取り出す確率は である。よって である。
(2)
とする。 回目に白球が出たなら、操作後の袋の中身は白球 個、赤球1個である。したがって、その次の 回目に赤球が出る確率は である。
一方、 回目に赤球が出たなら、その赤球は袋に戻されず、袋の中身はそのままである。このとき直後の袋には赤球がないので、 回目に赤球が出る確率は0である。
したがって、 について が成り立つ。これを と変形する。実際、左辺は
であり、右辺と一致する。
よって数列 は公比 の等比数列である。初項について だから、すべての に対して である。
したがって、特に に対して
である。