東京大学 2012年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の放物線 $C$ を $y = x^{2} + 1$ で定める。 $s$ ， $t$ は実数とし $t < 0$ を満たすとする。点 $(s, t)$ から放物線 $C$ へ引いた接線を $l_{1}$ ， $l_{2}$ とする。

(1) $l_{1}$ ， $l_{2}$ の方程式を求めよ。

(2) $a$ を正の実数とする。放物線 $C$ と直線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ で囲まれる領域の面積が $a$ となる $(s, t)$ を全て求めよ。

出典：東京大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

放物線 $y = x^{2} + 1$ の $x = u$ における接線を媒介変数で表し、それが点 $(s, t)$ を通る条件を $u$ の2次方程式にする。 $t < 0$ なので2本の接線があり、接点の $x$ 座標は $s - α, s + α$ と対称に書ける。面積は、放物線と接線の差が $(x - u)^{2}$ になること、および2本の接線の交点の $x$ 座標が $s$ であることを使い、左右に分けて積分する。最後に $S = 2 α^{3} /3 = a$ から $α$ を決め、 $t = s^{2} + 1 - α^{2} < 0$ を $s$ の開区間条件に戻す。

解答

(1)

放物線 $C : y = x^{2} + 1$ の $x = u$ における接線を求める。接点は $(u, u^{2} + 1)$ 、接線の傾きは $2 u$ であるから、接線の方程式は $y - (u^{2} + 1) = 2 u (x - u)$ すなわち $y = 2 ux - u^{2} + 1$ である。

この接線が点 $(s, t)$ を通る条件は $t = 2 u s - u^{2} + 1$ であり、これを $u$ について整理すると $u^{2} - 2 s u + t - 1 = 0$ である。判別式は $4 s^{2} - 4 (t - 1) = 4 (s^{2} - t + 1)$ である。ここで $α = s^{2} - t + 1$ とおく。 $t < 0$ より $s^{2} - t + 1 > 0$ なので $α > 0$ であり、2つの接点の $x$ 座標は $u = s - α, v = s + α$ である。

したがって2本の接線は、順序を除いて $y = 2 (s - α) x - (s - α)^{2} + 1$ と $y = 2 (s + α) x - (s + α)^{2} + 1$ である。ただし $α = s^{2} - t + 1$ である。

(2)

(1)の2つの接点の $x$ 座標を $u = s - α, v = s + α$ とする。放物線と $x = u$ における接線との差は $x^{2} + 1 - (2 ux - u^{2} + 1) = (x - u)^{2}$ である。同様に、 $x = v$ における接線との差は $(x - v)^{2}$ である。

また2本の接線の交点を求めると、 $2 ux - u^{2} + 1 = 2 v x - v^{2} + 1$ より $2 (u - v) x = (u - v) (u + v)$ である。 $u \neq = v$ だから $x = \frac{u + v}{2} = s$ である。

区間 $[u, s]$ では $x = u$ の接線が上側の接線であり、区間 $[s, v]$ では $x = v$ の接線が上側の接線である。よって囲まれる領域の面積 $S$ は $S = \int_{u}^{s} (x - u)^{2} d x + \int_{s}^{v} (x - v)^{2} d x$ である。ここで $u = s - α$ 、 $v = s + α$ だから

S = \int_{s - α}^{s} (x - s + α)^{2} d x + \int_{s}^{s + α} (x - s - α)^{2} d x

であり、どちらの積分も $α^{3} /3$ に等しい。したがって $S = \frac{2}{3} α^{3}$ である。

この面積が $a$ に等しいので $\frac{2}{3} α^{3} = a$ であり、 $α > 0$ より $α = (\frac{3 a}{2})^{1/3}$ である。一方、 $α^{2} = s^{2} - t + 1$ だから $t = s^{2} + 1 - α^{2}$ である。条件 $t < 0$ は $s^{2} < α^{2} - 1$ と同値である。

したがって、解が存在するには $α^{2} - 1 > 0$ すなわち $α > 1$ が必要十分である。これは $(\frac{3 a}{2})^{1/3} > 1$ つまり $a > \frac{2}{3}$ と同値である。

よって $0 < a ≦ 2/3$ のとき、条件を満たす $(s, t)$ は存在しない。 $a > 2/3$ のとき、すべての解は

- (\frac{3 a}{2})^{2/3} - 1 < s < (\frac{3 a}{2})^{2/3} - 1, t = s^{2} + 1 - (\frac{3 a}{2})^{2/3}

である。

別解。面積だけを先に一般公式として出すこともできる。放物線 $y = x^{2} + 1$ の接点の $x$ 座標を $p < q$ とすると、2接線の交点の $x$ 座標は $(p + q) /2$ である。上と同じ平方差を用いれば、囲まれる面積は

\int_{p}^{(p + q) /2} (x - p)^{2} d x + \int_{(p + q) /2}^{q} (x - q)^{2} d x = \frac{( q - p ) ^{3}}{12}

である。ここで $q - p = 2 α$ なので $S = \frac{( 2 α ) ^{3}}{12} = \frac{2}{3} α^{3}$ となり、以後は同じく $α = (3 a /2)^{1/3}$ 、 $t = s^{2} + 1 - α^{2} < 0$ を解けばよい。

東京大学 2012年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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文系数学第4問