問題
座標平面上の点が次の方程式を満たす。
このとき，のとりうる最大の値を求めよ。
出典：東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
与式を固定した に対する の2次方程式とみる。最高次係数は なので、ある実数 が存在する条件は判別式が0以上であることと一致する。この判別式を だけの2次不等式に直し、得られる閉区間の右端を求める。最後に判別式が0になる端点でも実数 が存在することを確認し、最大値が単なる上限ではなく実際に達成されることまで押さえる。
解答
与えられた方程式を について整理すると である。ここで を固定して考える。実数 が存在するための必要十分条件は、この2次方程式の判別式が0以上であることである。判別式を計算すると であり、展開して となる。したがって条件は すなわち である。
この2次方程式 の解は
である。よって実数 が存在する の範囲は である。
右端では判別式が0であり、そのとき が実数として定まるので、右端の は実際にとられる。したがって のとりうる最大値は である。