東京大学 2012年度
文系数学 第2問

解答

直線 $AB$ の方程式は $x+y=1$ である。点 $C(t,0)$ から見て $\overrightarrow{CO}=(-t,0),\overrightarrow{CA}=(-t,1)$ であるから、左向きの水平線 $CO$ と $CA$ のなす角について $\tan \angle ACO=\frac{1}{t}$ である。

また $\overrightarrow{CB}=(1-t,0)$ は右向きの水平線である。条件 $\angle ACO=\angle BCD$ より、直線 $CD$ は右向きの水平線から角 $\angle ACO$ だけ上がる直線であるから、その傾きは $\frac{1}{t}$ である。したがって直線 $CD$ は $y=\frac{x-t}{t}$ と書ける。

これを $x+y=1$ と連立すると $x+\frac{x-t}{t}=1$ であり、両辺に $t$ を掛けて $(1+t)x=2t$ を得る。よって $D\left(\frac{2t}{1+t},\frac{1-t}{1+t}\right)$ である。ここで $0<t<1$ より $0<2t/(1+t)<1$、$0<(1-t)/(1+t)<1$ なので、確かに $D$ は線分 $AB$ 上にある。

三角形 $ACD$ の面積を $S(t)$ とする。

であるから

である。したがって $S(t)=\frac{t(1-t)}{1+t}(0<t<1)$ となる。

微分すると $S^{\prime }(t)=\frac{(1-2t)(1+t)-(t-t^2)}{(1+t{)}^2}=\frac{1-2t-t^2}{(1+t{)}^2}$ である。分母は正なので、符号は $1-2t-t^2=2-(t+1{)}^2$ で決まる。$0<t<1$ で $S^{\prime }(t)=0$ となるのは $t=\sqrt{2}-1$ のときだけである。また $0<t<\sqrt{2}-1$ で $S^{\prime }(t)>0$、$\sqrt{2}-1<t<1$ で $S^{\prime }(t)<0$ である。

さらに $t\to 0+$、$t\to 1-$ では $S(t)\to 0$ であるから、最大は $t=\sqrt{2}-1$ でとる。このとき $S(\sqrt{2}-1)=\frac{(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$ であり、分子を整理すると $(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4$ なので $S(\sqrt{2}-1)=3-2\sqrt{2}$ である。したがって求める最大値は $\boxed{3-2\sqrt{2}}$ である。