問題
，を2つの正の整数とする。整数，，で条件
を満たすものを考え，このような，，をの形に並べたものをパターンと呼ぶ。各パターンに対して
とおく。
(1) パターンのうち，となるものの個数を求めよ。また，となるパターンの個数を求めよ。
以下の場合を考える。
(2) を以下の整数とする。パターンでとなるものの個数を求めよ。
方針
重み は に依存せず、 だけで決まる。したがって、まず求める の値を の条件に直す。(1) は または という端の条件なので、 はそれぞれ1通りに決まる。残りは の取り方を数える。(2) では として を固定し、 とおく。 の範囲から の範囲を決め、各 に対して は 通りであることを足し上げる。 では を超えるので該当しない。
解答
(1)
まず であり、 は によらない。 となる条件は すなわち である。ところが条件より 、 だから、 となるには でなければならない。このとき は を満たす整数であり、 の 通りである。したがって個数は である。
次に となる条件は すなわち である。条件より 、 だから、 となるには でなければならない。このとき は を満たす整数であり、 の 通りである。したがって個数は である。
(2)
以下 とする。このとき である。したがって は すなわち と同値である。
条件より 、 であるから、 である。したがって のときは となり、該当するパターンは存在しない。
次に とする。 より である。 から 、また であるから、 の範囲は である。この範囲の整数 は 個ある。
各 に対して、 は を満たす整数であるから、その個数は である。よって求める個数は である。ここで とおくと、各項は なので、和は
である。
以上より、 の整数 に対する答えは
である。