東京大学 2011年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 関数、微分、積分
- 解法
- 文字消去、微分による最大最小、定積分評価、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが，3つの条件
f(1)=1,f(−1)=−1,∫−11(bx2+cx+d)dx=1
をすべて満たしているとする。このようなf(x)の中で定積分
I=∫−11/2{f′′(x)}2dx
を最小にするものを求め，そのときのIの値を求めよ。ただし，f′′(x)はf′(x)の導関数を表す。
出典：東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
3条件をまず係数条件に直す。f(1)=1 と f(−1)=−1 は、偶数次部分 b+d と奇数次部分 a+c を分離してくれる。さらに積分条件では奇関数部分 cx が消えるので、b,d が決まり、残る自由度は a だけになる。あとは f′′(x)=6ax+2b を用いて I を a の2次式として正確に展開し、平方完成で最小値とそのときの f(x) を求める。
解答
条件を係数で書く。まず f(1)=a+b+c+d=1,f(−1)=−a+b−c+d=−1 である。これらを加えると 2b+2d=0 だから b+d=0 であり、引くと 2a+2c=2 だから a+c=1 である。したがって d=−b,c=1−a である。
次に積分条件を用いる。奇関数 cx の [−1,1] における積分は0なので、
∫−11(bx2+cx+d)dx=b∫−11x2dx+d∫−111dx=32b+2d
である。これが1に等しく、また d=−b であるから 32b−2b=1 すなわち −34b=1 である。よって b=−43,d=43 となる。
したがって条件を満たす3次関数は f(x)=ax3−43x2+(1−a)x+43 と表される。ここで f′′(x)=6ax+2b=6ax−23 であるから I=∫−11/2(6ax−23)2dx である。展開して (6ax−23)2=36a2x2−18ax+49 であり、∫−11/2x2dx=[3x3]−11/2=83,
∫−11/2xdx=[2x2]−11/2=−83,∫−11/21dx=23
である。よって
I=36a2⋅83−18a(−83)+49⋅23=227a2+427a+827
となる。
平方完成すると I=227(a+41)2+3281 である。したがって I が最小となるのは a=−41 のときであり、その最小値は 3281 である。このとき c=1−a=45 だから、求める関数は f(x)=−41x3−43x2+45x+43 であり、最小値は I=3281 である。
