問題
実数の小数部分を，かつが整数となる実数のこととし，これを記号で表す。実数に対して，無限数列の各項 を次のように順次定める。
(i)
(ii)
(1) のとき，数列を求めよ。
(2) 任意の自然数に対してとなるような以上の実数をすべて求めよ。
出典：東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
小数部分の定義から、 は常に に入る。(1) は を出し、 の小数部分が再び であることを確認する。(2) は全項が同じ になる固定点条件であり、まず から を得る。次に を、 が整数である条件に直し、 の範囲から整数値を に絞る。
解答
(1)
であるから である。この値は0でないので、次の項は である。ここで であり、 だから となる。よって である。
同じ計算が以後も繰り返されるので、すべての自然数 について である。
(2)
任意の自然数 に対して であるとする。特に で であるから、 は自分自身が小数部分であり、 を満たす。問題では も仮定されているので である。したがって である。
次に であるためには でなければならない。小数部分の定義より、ある整数 が存在して と書ける。すなわち が整数である。 より であり、また だから である。したがって整数 は に限られる。 のとき より である。 なので を得る。 のとき より である。 なので を得る。
これらはいずれも を満たし、 を満たすので、以後も同じ値が続く。したがって求める値は
である。