問題
2つの箱と，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率で出るコイン1枚を用意する。を0以上30以下の整数とする。に個，に個のボールを入れ，次の操作(＃)を繰り返す。
(＃) 箱に入っているボールの個数をとする。コインを投げ，表が出れば箱から箱に，裏が出れば箱から箱に，個のボールを移す。ただし，のとき，のときとする。
回の操作の後，箱のボールの個数が30である確率をとする。たとえばとなる。以下の問(1)，(2)に答えよ。
(1) のとき，に対してうまくを選び，をで表せ。
(2) を自然数とするとき，を求めよ。
方針
操作後の の個数を，現在の個数 から直接求める。 なら表で ，裏で0になり， なら表で30，裏で になる。(1) はこの遷移を条件付き確率で書く。(2) は初期値10から到達し得る状態が に限られることを使い，2回を1単位にして の一次漸化式を作る。
解答
(1) 現在，箱 に入っているボールの個数を とする。
まず の場合を考える。このとき である。表が出ると， から に 個移すので， の個数は になる。裏が出ると， から に 個移すので， の個数は になる。したがって である。 のとき，0個から1回以上の操作で30個になることはないので である。よって である。この場合は と選べばよい。
次に の場合を考える。このとき である。表が出ると， から に 個移すので， の個数は になる。裏が出ると， から に 個移すので， の個数は になる。30個になった後は， なのでそのまま30個であり続ける。したがって である。この場合は と選べばよい。
(2) とおく。10から1回操作すると，表なら20，裏なら0になる。0に行くと以後30にはならない。20から1回操作すると，表なら30，裏なら10になる。したがって，10から2回操作した後には，確率 で30に到達し，確率 で10に戻る。残りの確率は0に吸収される場合である。
よって で が成り立つ。また，2回の操作で10から30に到達する確率は である。
この漸化式の定数解は より である。したがって となる。 より なので
よって である。