東京大学 2010年度
文系数学 第1問

解答

(1) 出発点を整理する。点 $A$ は $(-3,0)$ なので，半直線 $OA$ の方向角は $180^{\circ }$ である。条件 $\angle AOB=180^{\circ }-\theta$ かつ $B$ は $y>0$ にあることから，点 $B$ の方向角は $\theta$ である。したがって $B=(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ である。

また，$C$ は $y<0$ にあり，$\angle BOC=120^{\circ }$ である。さらに $△ABC$ が $O$ を含む配置であるから，$C$ は $B$ から時計回りに $120^{\circ }$ だけ回した方向にある。よって $C$ の方向角は $\theta -120^{\circ }$ であり，$C=(\cos (\theta -120^{\circ }),\sin (\theta -120^{\circ }))$ である。

$OA=3$ であり，$B$ の $y$ 座標は $2\sin \theta$ なので $[△OAB]=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\sin \theta =3\sin \theta$ である。一方，$C$ は $x$ 軸の下側にあるから，$OA$ を底辺とした高さは $-\sin (\theta -120^{\circ })=\sin (120^{\circ }-heta)$ である。したがって

である。

面積が等しい条件は $3\sin \theta =\frac{3}{2}\sin (120^{\circ }-heta)$ すなわち $2\sin \theta =\sin (120^{\circ }-heta)$ である。ここで

だから $2\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta$ より $3\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta$ である。$0^{\circ }<\theta <120^{\circ }$ でこの式が成り立つとき，$\cos \theta$ は正でなければならないので $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ であり，$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。よって $\boxed{\theta =30^{\circ }}$ である。

(2) 面積の和を $S$ とする。(1) と同様に $S=3\sin \theta +\frac{3}{2}\sin (120^{\circ }-heta)$ である。これを $\sin \theta ,\cos \theta$ で表すと

ここで

である。右辺は

である。

等号は $\sin \theta :\cos \theta =15:3\sqrt{3}=5:\sqrt{3}$ のときに成り立つ。この比を満たす角は $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ にあり，問題の範囲内である。このとき

である。

したがって最大値は $\boxed{\frac{3\sqrt{7}}{2}}$ であり，そのとき $\boxed{\sin \theta =\frac{5\sqrt{7}}{14}}$ である。