東京大学 2010年度
文系数学 第2問

解答

$f(x)=x^2+ax+b$ であるから $f(x+1)=(x+1{)}^2+a(x+1)+b=x^2+(a+2)x+(a+b+1)$ である。

また $f^{\prime }(t)=2t+a$ である。したがって右辺の積分は，$x$ を定数として扱うと ${\int }_0^1(3x^2+4xt)f^{\prime }(t)dt={\int }_0^1(3x^2+4xt)(2t+a)dt$ である。これを分けて計算すると $=3x^2{\int }_0^1(2t+a)dt+4x{\int }_0^{1}t(2t+a)dt.$ ここで ${\int }_0^1(2t+a)dt=1+a$ であり，${\int }_0^{1}t(2t+a)dt={\int }_0^1(2t^2+at)dt=\frac{2}{3}+\frac{a}{2}$ である。よって ${\int }_0^1(3x^2+4xt)f^{\prime }(t)dt=3(a+1)x^2+\left(\frac{8}{3}+2a\right)x.$ したがって恒等式 $f(x+1)=c{\int }_0^1(3x^2+4xt)f^{\prime }(t)dt$ は $x^2+(a+2)x+(a+b+1)=c\left\{3(a+1)x^2+\left(\frac{8}{3}+2a\right)x\right\}$ と同値である。係数を比較して $1=3c(a+1),$ $a+2=c\left(\frac{8}{3}+2a\right),$ $a+b+1=0$ を得る。

第1式より $a\ne -1$ であり，$c=\frac{1}{3(a+1)}$ である。これを第2式に代入すると $a+2=\frac{\frac{8}{3}+2a}{3(a+1)}$ である。両辺に $3(a+1)$ を掛けて $3(a+1)(a+2)=2a+\frac{8}{3}$ となる。両辺を3倍して整理すると $9(a+1)(a+2)=6a+8$ すなわち $9a^2+27a+18=6a+8$ であるから $9a^2+21a+10=0$ となる。因数分解して $(3a+2)(3a+5)=0$ である。

よって $a=-\frac{2}{3},a=-\frac{5}{3}$ である。定数項の式 $a+b+1=0$ より $b=-a-1$ である。また $c=1/\{3(a+1)ight\}$ であるから，

したがって求める組は

である。