東京大学 2009年度理系数学第6問解答・解説

問題

平面上の2点 $P$ ， $Q$ の距離を $d (P, Q)$ と表すことにする。平面上に点 $O$ を中心とする一辺の長さが1000の正三角形 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ がある。% 図は省略 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ の内部に3点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ を， $d (A_{n}, B_{n}) = 1$ $(n = 1, 2, 3)$ となるようにとる。また，

$a_{1} = A_{1} A_{2}$ ， $a_{2} = A_{2} A_{3}$ ， $a_{3} = A_{3} A_{1}$

$e_{1} = A_{1} B_{1}$ ， $e_{2} = A_{2} B_{2}$ ， $e_{3} = A_{3} B_{3}$

とおく。 $n = 1, 2, 3$ のそれぞれに対して，時刻0に $A_{n}$ を出発し， $e_{n}$ の向きに速さ1で直進する点を考え，時刻 $t$ におけるその位置を $P_{n} (t)$ と表すことにする。

(1) ある時刻 $t$ で $d (P_{1} (t), P_{2} (t)) ≦ 1$ が成立した。ベクトル $e_{1} - e_{2}$ と，ベクトル $a_{1}$ とのなす角度を $θ$ とおく。このとき $∣ sin θ ∣ ≦ \frac{1}{1000}$ となることを示せ。

(2) 角度 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $θ_{3}$ を $θ_{1} = ∠ B_{1} A_{1} A_{2}$ ， $θ_{2} = ∠ B_{2} A_{2} A_{3}$ ， $θ_{3} = ∠ B_{3} A_{3} A_{1}$ によって定義する。 $α$ を $0 < α < \frac{π}{2}$ かつ $sin α = \frac{1}{1000}$ をみたす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで， $θ_{1} + θ_{2}$ の値のとる範囲を $α$ を用いて表せ。

(3) 時刻 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ のそれぞれにおいて，次が成立した。

d (P_{2} (t_{1}), P_{3} (t_{1})) ≦ 1, d (P_{3} (t_{2}), P_{1} (t_{2})) ≦ 1, d (P_{1} (t_{3}), P_{2} (t_{3})) ≦ 1

このとき，時刻 $T = \frac{1000}{3}$ において同時に

d (P_{1} (T), O) ≦ 3, d (P_{2} (T), O) ≦ 3, d (P_{3} (T), O) ≦ 3

が成立することを示せ。

出典：東京大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

(1)は $P_{1} (t) P_{2} (t) = a_{1} - t (e_{1} - e_{2})$ と書き，長さ1000のベクトル $a_{1}$ から， $e_{1} - e_{2}$ 方向の直線までの距離が1以下であると読む。(2)は単位ベクトルの差の向きを三角関数で計算し， $e_{1} - e_{2}$ と $a_{1}$ のなす角が $(θ_{1} + θ_{2}) /2 - π /6$ になることを使う。(3)は3組すべてに(2)を適用し，各 $θ_{i}$ が中心方向の角 $π /6$ から高々 $5 α$ しかずれないことを導き，時刻 $T$ で頂点から中心へ進む長さと同じだけ進んだ点を弦の長さで評価する。

解答

(1)

時刻 $t$ において

A_{1} P_{1} (t) = t e_{1}, A_{2} P_{2} (t) = t e_{2}

である。したがって

P_{1} (t) P_{2} (t) = P_{1} (t) A_{1} + A_{1} A_{2} + A_{2} P_{2} (t) = - t e_{1} + a_{1} + t e_{2} = a_{1} - t (e_{1} - e_{2})

である。

ある時刻 $t$ で $d (P_{1} (t), P_{2} (t)) ≦ 1$ が成り立つなら，ベクトル $a_{1}$ の先端は， $e_{1} - e_{2}$ の方向に引いた直線から距離1以下のところにある。したがって， $a_{1}$ からその直線までの垂直距離は1以下である。

$∣ a_{1} ∣ = 1000$ であり， $e_{1} - e_{2}$ と $a_{1}$ のなす角を $θ$ とすると，この垂直距離は $1000∣ sin θ ∣$ である。よって $1000∣ sin θ ∣ ≦ 1$ となり， $∣ sin θ ∣ ≦ \frac{1}{1000}$ が示された。

(2)

$a_{1}$ の向きを角度0の方向として測る。 $B_{1}$ ， $B_{2}$ はいずれも正三角形の内部にあるので $0 < θ_{1} < \frac{π}{3}, 0 < θ_{2} < \frac{π}{3}$ である。 $e_{1}$ の方向角は $θ_{1}$ であり， $a_{2}$ の方向は $a_{1}$ から $2 π /3$ だけ回転した向きなので， $e_{2}$ の方向角は $\frac{2 π}{3} + θ_{2}$ である。

一般に，方向角が $u, v$ である2つの単位ベクトルの差を考えると

(cos u, sin u) - (cos v, sin v) = 2 sin \frac{v - u}{2} (sin \frac{u + v}{2}, - cos \frac{u + v}{2})

である。ここでは $v - u$ は $0$ と $π$ の間にあるので，差のベクトルの方向角は $\frac{u + v}{2} - \frac{π}{2}$ である。 $u = θ_{1}$ ， $v = 2 π /3 + h e t a_{2}$ を代入すると， $e_{1} - e_{2}$ の方向角は $\frac{θ _{1} + θ _{2}}{2} - \frac{π}{6}$ である。

(1)より，この角を $ϕ$ とおけば $∣ sin ϕ ∣ ≦ \frac{1}{1000} = sin α$ である。また $- \frac{π}{6} < ϕ < \frac{π}{6}$ であるから， $∣ sin ϕ ∣ ≦ sin α$ より $∣ ϕ ∣ ≦ α$ である。したがって $- α ≦ \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2} - \frac{π}{6} ≦ α$ となる。両辺を2倍して

\frac{π}{3} - 2 α ≦ θ_{1} + h e t a_{2} ≦ \frac{π}{3} + 2 α

である。

(3)

与えられた3つの接近条件に(2)をそれぞれ適用する。組 $(P_{1}, P_{2})$ から $\frac{π}{3} - 2 α ≦ θ_{1} + h e t a_{2} ≦ \frac{π}{3} + 2 α$ を得る。同様に，組 $(P_{2}, P_{3})$ ，組 $(P_{3}, P_{1})$ から $\frac{π}{3} - 2 α ≦ θ_{2} + h e t a_{3} ≦ \frac{π}{3} + 2 α$ および $\frac{π}{3} - 2 α ≦ θ_{3} + h e t a_{1} ≦ \frac{π}{3} + 2 α$ を得る。

これら3つの不等式を加えると $π - 6 α ≦ 2 (θ_{1} + h e t a_{2} + h e t a_{3}) ≦ π + 6 α$ であるから

\frac{π}{2} - 3 α ≦ θ_{1} + h e t a_{2} + h e t a_{3} ≦ \frac{π}{2} + 3 α

となる。例えば $θ_{1} = (θ_{1} + h e t a_{2} + h e t a_{3}) - (h e t a_{2} + h e t a_{3})$ なので，上の評価と $θ_{2} + h e t a_{3}$ の評価を組み合わせると $\frac{π}{6} - 5 α ≦ θ_{1} ≦ \frac{π}{6} + 5 α$ である。同様に

θ_{2} - \frac{π}{6} ≦ 5 α, θ_{3} - \frac{π}{6} ≦ 5 α

も成り立つ。

正三角形の中心 $O$ は，各頂点の角の二等分線上にある。したがって， $A_{i}$ から $O$ へ向かう方向は，辺の方向から角度 $π /6$ だけ内側へ傾いた向きである。また一辺が1000の正三角形の外接円半径は $A_{i} O = \frac{1000}{3} = T$ である。

時刻 $T$ において， $P_{i} (T)$ は $A_{i}$ から $e_{i}$ の向きに長さ $T$ だけ進んだ点である。一方， $O$ は $A_{i}$ から中心方向に長さ $T$ だけ進んだ点である。これら2つの方向のなす角は高々 $5 α$ なので，二等辺三角形の弦の長さより $d (P_{i} (T), O) ≦ 2 T sin \frac{5 α}{2}$ である。

ここで $0 < α < π /2$ かつ $sin α = 1/1000$ である。正の角について $sin (u + v) < sin u + sin v$ を用いれば $sin \frac{5 α}{2} < \frac{5}{2} sin α = \frac{1}{400}$ である。よって

d (P_{i} (T), O) < 2 \cdot \frac{1000}{3} \cdot \frac{1}{400} = \frac{5}{3} < 3

となる。これは $i = 1, 2, 3$ のすべてで成り立つので

d (P_{1} (T), O) ≦ 3, d (P_{2} (T), O) ≦ 3, d (P_{3} (T), O) ≦ 3

が同時に成り立つ。

東京大学 2009年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2009年度
理系数学第6問