東京大学 2009年度理系数学第2問解答・解説

問題

実数を成分にもつ行列

A = (a c b d)

と実数 $r$ ， $s$ が下の条件(i)，(ii)，(iii)をみたすとする。

(i) $s > 1$

(ii) $A (r 1) = s (r 1)$

(iii) $A^{n} (10) = (x_{n} y_{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ とするとき， $n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim y_{n} = 0$

このとき以下の問に答えよ。

(1) $B = (10 r 1)^{- 1} A (10 r 1)$ を $a$ ， $c$ ， $r$ ， $s$ を用いて表せ。

(2) $B^{n} (10) = (z_{n} w_{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ とするとき， $n \to \infty lim z_{n} = n \to \infty lim w_{n} = 0$ を示せ。

(3) $c = 0$ かつ $∣ a ∣ < 1$ を示せ。

出典：東京大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は条件(ii)から $b$ と $d$ を $a, c, r, s$ で表し， $P = (10 r 1)$ として $P^{- 1} A P$ を直接計算する。(2)は $B = P^{- 1} A P$ より $B^{n} = P^{- 1} A^{n} P$ であり，しかも $P (1, 0)^{T} = (1, 0)^{T}$ であることを使う。(3)は(1)で得た下三角形の形から $B^{n} (1, 0)^{T}$ の成分の漸化式を書く。 $s > 1$ なので，もし $c \neq = 0$ なら下成分に $s^{n - 1}$ 程度の成長が残り，(2)の極限0に反する。

解答

(1)

条件(ii)より

A (r 1) = (a r + b cr + d) = s (r 1) = (sr s)

である。したがって $a r + b = sr, cr + d = s$ より $b = r (s - a), d = s - cr$ である。

P = (10 r 1)

とおくと

P^{- 1} = (10 - r 1)

である。まず

A P = (a c b d) (10 r 1) = (a c a r + b cr + d) = (a c sr s)

である。よって

B = P^{- 1} A P = (10 - r 1) (a c sr s) = (a - cr c 0 s)

である。

(2)

$B = P^{- 1} A P$ であるから，繰り返し掛けると $B^{n} = P^{- 1} A^{n} P$ である。また

P (10) = (10)

である。したがって

B^{n} (10) = P^{- 1} A^{n} P (10) = P^{- 1} A^{n} (10)

となる。

条件(iii)より

A^{n} (10) = (x_{n} y_{n})

であるから

(z_{n} w_{n}) = P^{- 1} (x_{n} y_{n}) = (10 - r 1) (x_{n} y_{n}) = (x_{n} - r y_{n} y_{n})

である。 $x_{n} \to 0$ ， $y_{n} \to 0$ なので $z_{n} = x_{n} - r y_{n} \to 0, w_{n} = y_{n} \to 0$ である。

(3)

(1)の結果を用い， $λ = a - cr$ とおく。このとき

B = (λ c 0 s)

である。 $B^{n} (1, 0)^{T} = (z_{n}, w_{n})^{T}$ とし，便宜上 $z_{0} = 1, w_{0} = 0$ とおくと，

(z_{n + 1} w_{n + 1}) = B (z_{n} w_{n}) = (λ z_{n} c z_{n} + s w_{n})

である。したがって $z_{n + 1} = λ z_{n}, w_{n + 1} = c z_{n} + s w_{n}$ となる。特に $z_{n} = λ^{n}$ である。

(2)より $z_{n} \to 0$ であるから $∣ λ ∣ < 1$ である。

ここで $c \neq = 0$ と仮定して矛盾を導く。上の漸化式から

w_{n} = c (λ^{n - 1} + s λ^{n - 2} + s^{2} λ^{n - 3} + \dots + s^{n - 2} λ + s^{n - 1})

である。両辺を $s^{n - 1}$ で割ると

\frac{w _{n}}{s ^{n - 1}} = c {1 + \frac{λ}{s} + (\frac{λ}{s})^{2} + \dots + (\frac{λ}{s})^{n - 1}}

である。 $s > 1$ かつ $∣ λ ∣ < 1$ より $\frac{λ}{s} < 1$ なので，右辺は $\frac{c}{1 - λ / s}$ に近づく。この値は $c \neq = 0$ なら0ではない。したがって $w_{n}$ は $s^{n - 1}$ に比例する大きさをもち，0に近づくことはできない。これは(2)の $w_{n} \to 0$ に反する。

よって $c = 0$ である。このとき $λ = a - cr = a$ であり，すでに $∣ λ ∣ < 1$ が分かっているので $c = 0, ∣ a ∣ < 1$ である。

東京大学 2009年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2009年度
理系数学第2問