東京大学 2009年度
理系数学 第5問

解答

(1)

両辺は正であるから，対数をとって比較する。

まず$0<x<1$とする。示すべき不等式は $\left(1-\frac{1}{x}\right)\log (1-x)<\frac{1}{x}\log (1+x)$ と同値である。$x>0$なので両辺に$x$を掛けて $(x-1)\log (1-x)<\log (1+x)$ すなわち $\log (1+x)+(1-x)\log (1-x)>0$ を示せばよい。

そこで $F(x)=\log (1+x)+(1-x)\log (1-x)$ とおく。$F(0)=0$であり，

である。$0<x<1$では $-\log (1-x)={\int }_0^x\frac{1}{1-u}du>x>\frac{x}{1+x}$ だから $F^{\prime }(x)>0$ である。よって$F(x)>F(0)=0$となり，この場合の不等式が示された。

次に$-1<x<0$とする。$y=-x$とおくと$0<y<1$であり，示すべき不等式は $(1+y{)}^{1+1/y}<(1-y{)}^{-1/y}$ である。対数をとり，正の数$y$を掛けると $(1+y)\log (1+y)<-\log (1-y)$ すなわち $\log (1-y)+(1+y)\log (1+y)<0$ を示せばよい。

そこで $G(y)=\log (1-y)+(1+y)\log (1+y)$ とおく。$G(0)=0$であり，

である。$0<y<1$では $\log (1+y)={\int }_0^y\frac{1}{1+u}du<y<\frac{y}{1-y}$ だから $G^{\prime }(y)<0$ である。よって$G(y)<G(0)=0$となり，この場合も不等式が示された。

以上より，$-1<x<1$，$x\ne 0$で $\boxed{(1-x{)}^{1-1/x}<(1+x{)}^{1/x}}$ が成り立つ。

(2)

$y=0.0001=\frac{1}{10000}$ とおくと，$0.9999=1-y$である。

まず右側の不等式を示す。 $H(y)=(1-y{)}^{100}-(1-100y)$ とおくと，$H(0)=0$であり，$0<y<1$では $H^{\prime }(y)=-100(1-y{)}^{99}+100=100\{1-(1-y{)}^{99}\}>0$ である。したがって$H(y)>0$であり，特に$y=1/10000$について $0.9999^{100}=(1-y{)}^{100}>1-100y=0.99$ となる。よって $0.99<0.9999^{100}$ である。

次に左側の不等式を示す。二項展開より

である。各項の絶対値を考えると，$j\geqq 1$で

である。したがって，$-{}_{101}{\mathrm{C}}_3{y}^3$以降の交代する部分は，最初が負で絶対値が順に小さくなる。よって全体は最初の3項より小さく，$(1-y{)}^{101}<1-101y+{}_{101}{\mathrm{C}}_2{y}^2$ である。ここで ${}_{101}{\mathrm{C}}_2=5050$ だから

である。したがって $0.9999^{101}<0.99$ である。

以上より $\boxed{0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}}$ が示された。