問題
正の整数の下2桁とは，100の位以上を無視した数をいう。たとえば2000，12345の下2桁はそれぞれ0，45である。が正の整数全体を動くとき，の下2桁として現れる数をすべて求めよ。
出典：東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
下2桁は で割った余りで決まる。 なので，まず を で割った余りに落とすとよい。 を の倍数， の倍数だが の倍数でない数，偶数だが の倍数でない数， と互いに素な数に分ける。それぞれ の に関する余りを出し，最後に実際にその下2桁が現れる例を添えて，候補漏れがないことを確認する。
解答
下2桁は で割った余りで決まる。 を で割った余りは， を で割った余りによって決まる。 を と での割れ方により分ける。
まず が の倍数のとき， は の倍数であるから である。
次に， が の倍数で の倍数でないとする。このとき と書け， は奇数である。すると である。 であり，奇数 については だから である。したがって下2桁は である。
次に， が偶数で の倍数でないとする。 と書くと， は の倍数ではない。 で割った余りが でない数の4乗は で割ると 余るので， である。よって となり， である。
最後に， が と互いに素であるとする。このとき は奇数で，かつ の倍数でない。したがって であるから である。よって である。
以上から，候補は である。実際， とすれば，それぞれ が現れる。したがって求める下2桁は である。
別解。 は の倍数であるから， は で割った余りだけ見れば十分である。さらに上の分類は， の下1桁が ，，偶数で でないもの， の4種類に対応する。各類の代表として を入れると，同じく が得られる。