東京大学 2007年度文系数学第2問解答・解説

問題

$r$ は $0 < r < 1$ をみたす実数， $n$ は2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を，次の条件をみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。

(i) 新しい2つの円の半径の比は $r : 1 - r$ で，半径の和はもとの円の半径に等しい。

(ii) 新しい2つの円は互いに外接し，もとの円に内接する。

以下のようにして，平面上に $2^{n}$ 個の円を作る。

・最初に，平面上に半径1の円を描く。

・次に，この円に対して操作(P)を行い，2つの円を得る。これを1回目の操作という。

・ $k$ 回目の操作で得られた $2^{k}$ 個の円のそれぞれについて，操作(P)を行い， $2^{k + 1}$ 個の円を得る $(1 ≦ k ≦ n - 1)$ 。

% 図は省略

(1) $n$ 回目の操作で得られる $2^{n}$ 個の円の周の長さの和を求めよ。

(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。

(3) $n$ 回目の操作で得られる $2^{n}$ 個の円の面積の和を求めよ。

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

半径 $R$ の円に操作を行うと，新しい2円の半径は $r R$ と $(1 - r) R$ になる。周長は半径の1次式なので総和が変わらず，面積は半径の2乗に比例するので，操作1回ごとに総面積が $r^{2} + (1 - r)^{2}$ 倍される。(2)はこの倍率を2回掛け，(3)は $n$ 回掛ければよい。別解として，最終的な円を操作列で分類し，半径が $r^{j} (1 - r)^{n - j}$ になる円が $_{n} C_{j}$ 個あると数えても同じ式が出る。

解答

(1)

半径 $R$ の円に操作(P)を行う。新しい2つの円の半径の比は $r : 1 - r$ で，半径の和は $R$ であるから，新しい半径は $r R, (1 - r) R$ である。したがって，新しい2つの円の周の長さの和は $2 π r R + 2 π (1 - r) R = 2 π R$ となり，もとの円の周の長さと等しい。

このことは各操作でそれぞれの円について成り立つので，全体の周の長さの和は操作しても変わらない。初めの円の半径は $1$ だから， $n$ 回目の操作で得られる $2^{n}$ 個の円の周の長さの和は $2 π$ である。

(2)

半径 $R$ の円を1回操作した後の面積の和は $π (r R)^{2} + π {(1 - r) R}^{2} = π R^{2} {r^{2} + (1 - r)^{2}}$ である。つまり，操作1回ごとに面積の総和は $r^{2} + (1 - r)^{2}$ 倍される。

初めの円の面積は $π$ であるから，2回目の操作で得られる4つの円の面積の和は $π {r^{2} + (1 - r)^{2}}^{2}$ である。

(3)

(2)と同じ倍率が各回の操作で全体に掛かる。したがって， $n$ 回目の操作で得られる $2^{n}$ 個の円の面積の和は $π {r^{2} + (1 - r)^{2}}^{n}$ である。

別解。 $n$ 回の操作で，半径に $r$ が掛かる選択を $j$ 回， $1 - r$ が掛かる選択を $n - j$ 回行った円の半径は $r^{j} (1 - r)^{n - j}$ であり，そのような円は $_{n} C_{j}$ 個ある。よって周の長さの和は

2 π j = 0 \sum n_{n} C_{j} r^{j} (1 - r)^{n - j} = 2 π {r + (1 - r)}^{n} = 2 π

である。また面積の和は

π j = 0 \sum n_{n} C_{j} r^{2 j} (1 - r)^{2 (n - j)} = π {r^{2} + (1 - r)^{2}}^{n}

となり，同じ結果を得る。

東京大学 2007年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2007年度
文系数学第2問