東京大学 2007年度文系数学第1問解答・解説

問題

連立不等式

y (y - ∣ x^{2} - 5∣ + 4) ≦ 0, y + x^{2} - 2 x - 3 ≦ 0

の表す領域を $D$ とする。

(1) $D$ を図示せよ。% 図は省略

(2) $D$ の面積を求めよ。

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

第1不等式を， $g (x) = ∣ x^{2} - 5∣ - 4$ とおいて $y (y - g (x)) ≦ 0$ と読む。これは $y$ が $0$ と $g (x)$ の間にあるという条件である。絶対値は $∣ x ∣ < 5$ と $∣ x ∣ ≧ 5$ で外し，さらに $g (x)$ の符号で上下を決める。第2不等式は $y ≦ 4 - (x - 1)^{2}$ なので，各 $x$ で縦に切って，上下端のうち実際に残るものを比較する。負の側は $x < - 1$ で第2放物線が下に来すぎて領域をもたず，面積は $[- 1, 1]$ ， $[1, 5]$ ， $[5, 3]$ の3区間の縦幅を積分して求める。

解答

(1)

$g (x) = ∣ x^{2} - 5∣ - 4$ とおく。第1の不等式は $y (y - g (x)) ≦ 0$ であるから， $y$ は $0$ と $g (x)$ の間にある。

絶対値を外すと

g (x) = {1 - x^{2} x^{2} - 9 (∣ x ∣ < 5), (∣ x ∣ ≧ 5)

である。また第2の不等式は $y ≦ - x^{2} + 2 x + 3 = 4 - (x - 1)^{2}$ である。

まず $- 1 ≦ x ≦ 1$ では $g (x) = 1 - x^{2} ≧ 0$ であり，さらに $4 - (x - 1)^{2} - (1 - x^{2}) = 2 x + 2 ≧ 0$ だから，第2の不等式は上端 $1 - x^{2}$ を削らない。したがって $0 ≦ y ≦ 1 - x^{2}$ である。

次に $1 ≦ x ≦ 5$ では $g (x) = 1 - x^{2} ≦ 0$ であり，第2放物線は $0$ 以上である。よって $1 - x^{2} ≦ y ≦ 0$ である。

さらに $5 ≦ x ≦ 3$ では $g (x) = x^{2} - 9 ≦ 0$ であり，やはり第2放物線は $0$ 以上である。よって $x^{2} - 9 ≦ y ≦ 0$ である。

一方， $x < - 1$ では第2放物線 $y = 4 - (x - 1)^{2}$ が第1不等式で許される縦区間より下に来るか，または $y ≦ 0$ と $y ≧ 0$ が両立しないため，面積をもつ部分は残らない。 $x > 3$ でも同様に面積をもつ部分はない。したがって $D$ は上の3つの縦断面を合わせた領域である。

(2)

面積 $S$ は

S = \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{5} (x^{2} - 1) d x + \int_{5}^{3} (9 - x^{2}) d x = [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} + [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{5} + [9 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{5}^{3} = \frac{4}{3} + (\frac{2 5}{3} + \frac{2}{3}) + (18 - r a c 2253) = 20 - \frac{20 5}{3}

である。よって求める面積は $20 - \frac{20 5}{3}$ である。

東京大学 2007年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2007年度
文系数学第1問