東京大学 2006年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$p, n$ を自然数とする。

(1) $p + 1$ 次多項式 $S_{p} (x)$ が存在し、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{p} = S_{p} (n)$ と表されることを示せ。

(2) $\sum_{j = 1}^{q} a_{j} S_{2 j - 1} (x) = x^{q} (x + 1)^{q}$ が恒等式となる $a_{1}, \dots, a_{q}$ を求めよ。

(3) $\sum_{j = 1}^{q - 1} b_{j} S_{2 j} (x) = x^{q - 1} (x + 1)^{q - 1} (c x + q)$ が恒等式となる $c, b_{1}, \dots, b_{q - 1}$ を求めよ。

(4) 3以上の奇数 $p$ に対し $S_{p}^{'} (x) = p S_{p - 1} (x)$ を示せ。

出典：東京大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は二項定理で $n^{p}$ を $(n + 1)^{p + 1} - n^{p + 1}$ と低い次数のべきに分け、 $p$ に関する帰納法で示す。(2)(3)は $x$ の式から $x - 1$ の式を引き、 $S_{r} (x) - S_{r} (x - 1) = x^{r}$ を使って係数比較する。(3)(4)では $S_{r} (- x - 1) = (- 1)^{r + 1} S_{r} (x)$ という対称性も使う。

解答

以下、組合せ数は範囲外の添字に対して $_{N} C_{k} = 0$ と約束する。

(1)

$p = 1$ では

S_{1} (x) = \frac{x ( x + 1 )}{2}

とすればよい。 $1, 2, \dots, p - 1$ 乗の和がそれぞれ次数 $2, 3, \dots, p$ の多項式で表されると仮定する。二項定理から

(n + 1)^{p + 1} - n^{p + 1} = (p + 1) n^{p} + j = 0 \sum p - 1_{p + 1} C_{j} n^{j} .

これを $n = 1, \dots, N$ について加えると

n = 1 \sum N n^{p} = \frac{( N + 1 ) ^{p + 1} - 1}{p + 1} - \frac{1}{p + 1} j = 0 \sum p - 1_{p + 1} C_{j} n = 1 \sum N n^{j} .

右辺は帰納法の仮定により $N$ の多項式であり、最高次項は $N^{p + 1} / (p + 1)$ だから次数は $p + 1$ である。よって所望の多項式 $S_{p} (x)$ が存在する。また、自然数で成り立つ等式を多項式の恒等式として見ることにより

S_{p} (x) - S_{p} (x - 1) = x^{p}, S_{p} (0) = 0

が成り立つ。

(2)

求める恒等式から $x$ を $x - 1$ に替えたものを引くと

j = 1 \sum q a_{j} x^{2 j - 1} = x^{q} {(x + 1)^{q} - (x - 1)^{q}} .

二項定理により右辺は

2 0 ≦ k ≦ q k が奇数 \sum_{q} C_{k} x^{2 q - k} .

$x^{2 j - 1}$ の係数を比較すると

a_{j} = 2_{q} C_{2 j - q - 1} (j = 1, \dots, q) .

逆にこの係数を選べば、両辺の $x$ と $x - 1$ における差が一致する。両辺は $x = 0$ で0だから、元の恒等式も成り立つ。

(3)

まず一般に

S_{r} (- x - 1) = (- 1)^{r + 1} S_{r} (x)

が成り立つ。実際、右辺の多項式と左辺の多項式は、ともに隣り合う値の差が $(- 1)^{r + 1} x^{r}$ となり、 $x = 0$ で0となるので一致する。

したがって各 $S_{2 j} (x)$ は $x = - 1/2$ に関して符号を変える。(3)の右辺でも同じことが必要である。因子 $x^{q - 1} (x + 1)^{q - 1}$ は $x \mapsto - x - 1$ で変わらないから

- c x - c + q = - (c x + q)

でなければならない。よって

c = 2 q .

この値を用い、(2)と同様に $x$ と $x - 1$ における差をとると

j = 1 \sum q - 1 b_{j} x^{2 j} = q x^{q - 1} {(2 x + 1) (x + 1)^{q - 1} - (2 x - 1) (x - 1)^{q - 1}} = q ⎩ ⎨ ⎧ 4 0 ≦ k ≦ q - 1 k が奇数 \sum_{q - 1} C_{k} x^{2 q - 1 - k} + 2 0 ≦ k ≦ q - 1 k が偶数 \sum_{q - 1} C_{k} x^{2 q - 2 - k} ⎭ ⎬ ⎫ .

係数比較により

b_{j} = 2 q {2_{q - 1} C_{2 j - q} +_{q - 1} C_{2 j - q + 1}} (j = 1, \dots, q - 1) .

この係数なら差が一致し、両辺は $x = 0$ で0だから、十分性も成り立つ。

(4)

D (x) = S_{p}^{'} (x) - p S_{p - 1} (x)

とおく。 $S_{p} (x) - S_{p} (x - 1) = x^{p}$ を微分した式と、 $S_{p - 1} (x) - S_{p - 1} (x - 1) = x^{p - 1}$ の $p$ 倍を比較すると

D (x) - D (x - 1) = 0.

したがって多項式 $D (x)$ は定数である。

$p$ は奇数なので、上で示した対称性から $S_{p} (x)$ は $x = - 1/2$ に関して対称であり

S_{p}^{'} (- \frac{1}{2}) = 0.

一方、 $p - 1$ は偶数なので $S_{p - 1} (x)$ は同じ点に関して符号を変え

S_{p - 1} (- \frac{1}{2}) = 0.

よって $D (- 1/2) = 0$ であり、定数多項式 $D$ は恒等的に0である。したがって

S_{p}^{'} (x) = p S_{p - 1} (x)

が示された。

東京大学 2006年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2006年度
後期・理系数学後期第3問