東京大学 2006年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a > 0, 0 ≦ θ ≦ π /2$ とする。点 $(a, 0, 0)$ と $(a + cos θ, 0, sin θ)$ を結ぶ線分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる曲面を $S$ とする。さらに $S$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。

(1) $V$ を $a, θ$ で表せ。

(2) $a = 4$ のとき $V$ の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

(1)は最終的な立体を $y$ 軸に垂直な平面で切る。高さ $y$ を固定し、元の線分上の比を $s$ とすると、 $y$ 軸からの距離は $s$ とともに増える。最小・最大の $s$ から断面の内半径と外半径を出し、環状断面を積分する。(2)は得られた三角関数を区間上で微分する。

まず $0 < θ ≦ π /2$ とする。もとの線分上の位置を $0 ≦ s ≦ 1$ で表すと、これを $x$ 軸のまわりに回した点は

x = a + s cos θ, y^{2} + z^{2} = s^{2} sin^{2} θ

を満たす。

高さ $y ≧ 0$ を固定すると、 $y ≦ sin θ$ の範囲で

\frac{y}{sin θ} ≦ s ≦ 1.

この点の $y$ 軸からの距離を $ρ$ とすれば

ρ^{2} = x^{2} + z^{2} = a^{2} + 2 a s cos θ + s^{2} - y^{2} .

右辺は $s$ とともに増加する。したがって回転後の断面の内半径と外半径は

ρ_{m i n} = a + y cot θ, ρ_{m a x} = a^{2} + 2 a cos θ + 1 - y^{2}

である。上下対称性を用いると

V = 2 π \int_{0}^{s i n θ} {a^{2} + 2 a cos θ + 1 - y^{2} - (a + y cot θ)^{2}} d y = 2 π \int_{0}^{s i n θ} (1 + 2 a cos θ - \frac{2 a cos θ}{sin θ} y - \frac{y ^{2}}{sin ^{2} θ}) d y = 2 π sin θ (a cos θ + \frac{2}{3}) .

$θ = 0$ では体積は0であり、この公式の値とも一致する。よって

V = 2 π sin θ (a cos θ + \frac{2}{3}) .

$a = 4$ とする。 $V / (2 π)$ を微分すると

\frac{d}{d θ} {sin θ (4 cos θ + \frac{2}{3})} = 4 cos 2 θ + \frac{2}{3} cos θ .

これが0となる条件は

12 cos^{2} θ + cos θ - 6 = 0.

$0 ≦ cos θ ≦ 1$ より $cos θ = 2/3$ 、 $sin θ = 5 /3$ を得る。両端の値とも比較すると、このとき最大である。したがって

V_{m a x} = 2 π \cdot \frac{5}{3} (4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{20 π 5}{9} .