東京大学 2006年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

媒介変数表示 $x = 2 t + t^{2}, y = t + 2 t^{2}$ で表される曲線を $C$ とする。

(1) $t \neq = - 1$ のとき $d y / d x$ を $t$ で表せ。

(2) $C$ 上で $d y / d x = - 1/2$ を満たす点 $A$ を求めよ。

(3) $X = (2 x - y) / 5, Y = (x + 2 y) / 5$ とするとき、 $Y$ を $X$ で表せ。

(4) $C$ の概形を $x y$ 平面上に描け。

出典：東京大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1)(2)は媒介変数の微分を使う。(3)は変換式へ媒介表示を代入すると $X$ が $t$ の1次式になるので消去できる。この変換は回転であり、 $X Y$ 平面では縦軸方向に開く放物線になる。(4)は頂点、軸、原点などの通過点を元の $x y$ 平面へ戻して描く。

\frac{d x}{d t} = 2 + 2 t, \frac{d y}{d t} = 1 + 4 t

だから、 $t \neq = - 1$ のとき

\frac{d y}{d x} = \frac{4 t + 1}{2 t + 2} .

条件は

\frac{4 t + 1}{2 t + 2} = - \frac{1}{2}

である。これを解くと $t = - 2/5$ となる。よって

A = (2 (- \frac{2}{5}) + \frac{4}{25}, - \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{4}{25}) = (- \frac{16}{25}, - \frac{2}{25}) .

媒介表示を変換式へ代入すると

X = \frac{2 ( 2 t + t ^{2} ) - ( t + 2 t ^{2} )}{5} = \frac{3 t}{5},

Y = \frac{( 2 t + t ^{2} ) + 2 ( t + 2 t ^{2} )}{5} = \frac{4 t + 5 t ^{2}}{5} .

したがって $t = 5 X /3$ を消去して

Y = \frac{5 5}{9} X^{2} + \frac{4}{3} X .

(3)の座標変換は回転であり、得られた式は放物線である。平方完成すると

Y + \frac{4}{5 5} = \frac{5 5}{9} (X + \frac{6}{5 5})^{2} .

よって頂点を元の座標へ戻すと (2)の点 $A = (- 16/25, - 2/25)$ となる。軸は方向ベクトル $(1, 2)$ をもち、方程式は

y = 2 x + \frac{6}{5}

である。また $t = 0$ で原点、 $t = - 1/2$ で $(- 3/4, 0)$ 、 $t = - 2$ で $(0, 6)$ を通る。したがって概形は次の通りである。