東京大学 2004年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

中心 $(- 1, 0)$ 、半径1の円を $A$ 、中心 $(1, 0)$ 、半径1の円を $B$ とし、その内部をそれぞれ $D, E$ とする。

(1) $(- 1 + cos θ, sin θ)$ における円 $A$ の接線 $l$ と直交する円 $B$ の接線 $m$ について、交点 $P = l \cap m$ を求めよ。

(2) $D, E$ のいずれにも重ならないように一辺2の正方形を動かすとき、正方形が通りえない部分の面積を求めよ。

出典：東京大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

(1)は接点の半径を法線ベクトルとして2本の接線を立式する。(2)では正方形の二つの隣接辺が二円に接するとき、二円の間にある頂点の軌跡が到達不能領域の境界になる。軌跡を $θ$ で媒介し、上半分の余分な領域を積分で求めて対称性を使う。

$c = cos θ, s = sin θ$ とおく。円 $A$ の接線 $l$ は

c (x + 1) + sy = 1, c x + sy = 1 - c .

$l$ と直交する直線は $s x - cy = a$ と書ける。これが中心 $(1, 0)$ 、半径1の円 $B$ に接する条件は

∣ s - a ∣ = 1,

したがって $a = s \pm 1$ である。連立方程式を解くと、複号同順で

P = (c \pm s - cos 2 θ, s \mp c - sin 2 θ) .

正方形の隣り合う二辺を円 $A, B$ にそれぞれ接するように置き、二円の間にある頂点を考える。(1)の二点のうちこの頂点は

P_{1} (θ) = (cos θ - sin θ - cos 2 θ, sin θ + cos θ - sin 2 θ)

である。円 $A$ との接点から $P_{1}$ までの符号付き距離は $2 sin θ - 1$ 、円 $B$ との接点からの距離は $2 cos θ - 1$ となる。二つの接点が正方形の対応する辺上にある条件は

2 sin θ - 1 ≧ 0, 2 cos θ - 1 ≧ 0,

すなわち

\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{3} .

この範囲で $P_{1}$ が描く曲線が、上側の到達不能部分の境界になる。

$P_{1} = (x (θ), y (θ))$ とおくと、 $x$ は単調増加し、両端は

x (\frac{π}{6}) = - 1 + \frac{3}{2}, x (\frac{π}{3}) = 1 - \frac{3}{2} .

この曲線と $x$ 軸に挟まれる面積を $S_{0}$ とすると

S_{0} = \int_{π /6}^{π /3} y (θ) x^{'} (θ) d θ = \int_{π /6}^{π /3} (sin θ + cos θ - sin 2 θ) (- sin θ - cos θ + 2 sin 2 θ) d θ = - \frac{π}{3} - 1 + \frac{5 3}{4} .

一方、同じ $x$ の範囲で二円の上半円弧と $x$ 軸に挟まれる部分は、中心角 $π /6$ の扇形から直角三角形を引いた部分が二つあるので

S_{1} = 2 (\frac{π}{12} - \frac{3}{8}) = \frac{π}{6} - \frac{3}{4} .

したがって、二円の外側にある上側の到達不能部分は

S_{0} - S_{1} = - \frac{π}{2} - 1 + \frac{3 3}{2} .

下側にも合同な部分があり、さらに円 $D, E$ の内部そのものの面積が $2 π$ である。よって求める面積は

2 π + 2 (S_{0} - S_{1}) = π - 2 + 33 .