東京大学 2004年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$r > 0$ , $0 < θ < π /2$ とする。 $P_{0} = (0, 0), P_{1} = (1, 0)$ とし、図示された向き（ $P_{2}$ を上半平面にとる向き）に点 $P_{2}, P_{3}, \dots$ を定める。すべての $n ≧ 0$ について、 $P_{n + 1} P_{n + 2} = r P_{n} P_{n + 1}$ 、 $∠ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2} = θ$ 、 $P_{n}, P_{n + 2}, P_{n + 3}$ は同一直線上にある。 $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ 、 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とする。

(1) $r$ を求めよ。

(2) $z_{n}$ を求めよ。

(3) $x_{n}, y_{n}$ がともに収束する必要十分条件を示せ。

(4) $α (θ) = lim x_{n}, β (θ) = lim y_{n}$ とするとき、 $θ \to π /3 + 0$ での各極限を求めよ。

(5) $π /3 < θ < π /2$ での $β (θ)$ の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

辺を表す複素数を $w_{n} = z_{n + 1} - z_{n}$ とおく。各辺は直前の辺を $π - θ$ 回転して $r$ 倍したものなので、 $w_{n}$ は等比数列になる。最初の一直線条件から $r$ を決め、 $z_{n}$ を等比数列の和で表す。収束は公比の絶対値で判定し、最後は極限の虚部を微分して最大化する。

解答

(1)

図の向きでは、辺 $P_{n + 1} P_{n + 2}$ は辺 $P_{n} P_{n + 1}$ を反時計回りに $π - θ$ 回転し、長さを $r$ 倍したものである。特に

z_{2} = 1 + r e^{i (π - θ)} = 1 - r e^{- i θ}, z_{3} - z_{2} = r^{2} e^{2 i (π - θ)} = r^{2} e^{- 2 i θ} .

$P_{0}, P_{2}, P_{3}$ が同一直線上にあるためには、 $z_{2}$ と $z_{3} - z_{2}$ の偏角の差が $0$ または $π$ でなければならない。したがって

Im {e^{2 i θ} (1 - r e^{- i θ})} = 0.

左辺は $sin 2 θ - r sin θ$ だから、 $0 < θ < π /2$ より

r = 2 cos θ .

この値なら同じ相似関係が以後も繰り返され、条件(a)--(c)を満たす。

(2)

$w_{n} = z_{n + 1} - z_{n}$ とおくと、 $w_{0} = 1$ であり

w_{n + 1} = r e^{i (π - θ)} w_{n} = - r e^{- i θ} w_{n} .

よって、 $q = - 2 cos θ e^{- i θ}$ とおけば

w_{n} = q^{n}, z_{n} = k = 0 \sum n - 1 q^{k} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} (n ≧ 1),

また $z_{0} = 0$ である。すなわち

z_{n} = \frac{1 - ( - 2 cos θ e ^{- i θ} ) ^{n}}{1 + 2 cos θ e ^{- i θ}} .

(3)

$q \neq = 1$ なので、上式より $z_{n}$ が収束することと $q^{n}$ が収束することは同値である。 $∣ q ∣ < 1$ なら $q^{n} \to 0$ である。 $∣ q ∣ > 1$ なら絶対値が発散する。 $∣ q ∣ = 1$ で $q^{n}$ が収束すると仮定すれば、

(q - 1) q^{n} = q^{n + 1} - q^{n} ⟶ 0

となるが、 $q \neq = 1$ , $∣ q^{n} ∣ = 1$ に反する。したがって必要十分条件は

∣ q ∣ = 2 cos θ < 1,

すなわち

\frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2}

である。複素数列 $z_{n}$ の収束は実部列 $x_{n}$ と虚部列 $y_{n}$ がともに収束することと同値なので、主張が示された。

(4)

収束する範囲では

n \to \infty lim z_{n} = \frac{1}{1 + 2 cos θ e ^{- i θ}} .

$c = cos θ, s = sin θ$ とおき分母を実数化すると

α (θ) = \frac{1 + 2 c ^{2}}{1 + 8 c ^{2}}, β (θ) = \frac{2 cs}{1 + 8 c ^{2}} .

よって

θ \to π /3 + 0 lim α (θ) = \frac{1}{2}, θ \to π /3 + 0 lim β (θ) = \frac{3}{6} .

(5)

$u = cos^{2} θ$ とおくと $0 < u < 1/4$ であり、

β (θ)^{2} = \frac{4 u ( 1 - u )}{( 1 + 8 u ) ^{2}} .

この右辺を $u$ で微分すると、その符号は $1 - 10 u$ の符号に一致する。したがって $u = 1/10$ で最大となり、

β (θ)^{2} = \frac{1}{9} .

この範囲で $β (θ) > 0$ だから、最大値は

\frac{1}{3}

である。

東京大学 2004年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

東京大学 2004年度
後期・理系数学後期第1問