問題
片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う。
さいころを振り，出た目が1，2であれば左端の板を裏返し，3，4であればまん中の板を裏返し，5，6であれば右端の板を裏返す。
(1) 「白白白」から始めて，3回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2) 「白白白」から始めて，回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる確率をとする。 を求めよ。
注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
方針
さいころの目は、実質的には3枚のうち1枚を等確率で選んで裏返す操作である。(1)は3回の選択列について、左端が奇数回、残り2枚が偶数回選ばれる場合を数える。(2)は奇数回後には黒い板の枚数が1枚または3枚に限られることを使い、2回操作を1組として黒1枚状態へ戻る確率を数える。黒1枚状態全体の確率を置くと、黒1枚から黒1枚へ、黒3枚から黒1枚への2種類だけで漸化式が閉じる。最後に初期値 から解く。
解答
(1)
1回の操作では、左端・まん中・右端のいずれか1枚が、それぞれ確率 で選ばれて裏返ると考えればよい。3回後に「黒白白」となるには、左端が奇数回、まん中と右端が偶数回選ばれる必要がある。
左端が3回選ばれる場合は 通りである。左端が1回だけ選ばれる場合は、左端を選ぶ回の位置が3通りあり、残り2回はまん中だけ、または右端だけにそろう必要があるので 通りである。したがって有利な操作列は 通りである。全操作列は 通りなので、求める確率は である。
(2)
奇数回の操作後には、黒い板の枚数は奇数である。3枚しかないので、黒い板の枚数は1枚または3枚である。ここで、 回後に黒い板が1枚である確率を とする。これは問題文の「黒白白」「白黒白」「白白黒」のいずれかである確率に等しい。
黒い板が1枚の状態から2回操作した後を考える。2回とも同じ板を選べば元の状態に戻るので、これは3通りである。また、黒い板1枚と白い板1枚を1回ずつ選ぶと、黒い板の位置が入れ替わり、やはり黒い板は1枚になる。この場合は、白い板の選び方が2通り、順序が2通りなので 通りである。よって、黒1枚から2回後も黒1枚である確率は である。
一方、黒い板が3枚の状態から2回操作した後に黒い板が1枚になるには、異なる2枚を1回ずつ選べばよい。これは 通りなので、その確率は である。
したがって
である。また、1回後は必ず黒い板が1枚なので である。定数 を用いて を解くと であるから、 となる。よって である。問題では は自然数なので、特に に対してこの式を用いればよい。
別解。 回の操作列を直接数えてもよい。黒い板がちょうど1枚であることは、3枚のうちちょうど1枚が奇数回、残り2枚が偶数回選ばれることと同じである。特定の1枚だけが奇数回選ばれる操作列の数は、偶奇を抽出して数えると 通りである。どの1枚が奇数回選ばれるかは3通りあるので、
となる。