問題
を正の実数とする。次の2つの不等式を同時に満たす点全体からなる領域をとする。
領域におけるの最大値，最小値を求めよ。
方針
まず上下の放物線が交わる条件から、領域が存在する の範囲を と定める。固定した に対して は とともに増加するので、最大値は上側の放物線 、最小値は下側の放物線 上で調べればよい。どちらも閉区間上の2次関数の最大最小に帰着し、頂点が区間内に入るかどうかで , を境に場合分けする。
解答
領域 が存在するためには、同じ に対して下側の値が上側の値以下でなければならない。したがって である。これを整理すると すなわち である。 より、領域 に現れる の範囲は である。 を固定すると、 は が大きいほど大きい。したがって最大値は上側の放物線 上で調べればよい。このとき である。この2次関数は上に凸で、軸は である。軸が区間 に入る条件を調べると、左端については が常に成り立ち、右端については すなわち である。
したがって、 のときは区間内で軸が右にはみ出すので、最大値は右端 で生じる。このとき である。 のときは軸で最大となり、平方完成より
だから、最大値は である。
次に最小値を求める。 は について増加するので、最小値は下側の放物線 上で調べればよい。このとき である。軸 が区間 に入る条件は であり、右側の不等式は常に成り立つので、条件は である。 のとき、軸 は区間の左外にあるから、最小値は左端 で生じる。このとき である。 のときは軸で最小となり、最小値は である。
以上より、最大値は
最小値は
である。
別解。直線 、すなわち を平行移動させると、 が大きいほど直線は上へ動く。最大値はこの直線が領域 に最後に触れるときの であり、上側放物線に接するか、右端の交点 を通るかのどちらかである。接点の 座標は であり、これが に入る条件が である。最小値も同様に、同じ直線を下へ動かして下側放物線 に接するか、左端の交点 を通るかを見ればよく、接点 が区間に入る条件が である。これにより上と同じ場合分けと値が得られる。