東京大学 2003年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

(1) $a_{n} ≧ 2$ のとき、 $x_{n + 2} - a_{n + 1} x_{n + 1} + x_{n} = 0$ 、 $x_{0} = 0, x_{m} = 1$ を満たす数列が一意に存在し、 $0 < x_{n} < 1$ $(1 ≦ n < m)$ を示せ。

(2) $a_{n} ≧ 1 + b$ 、 $b > 0$ のとき、 $y_{n + 2} - a_{n + 1} y_{n + 1} + b y_{n} = 0$ について同じ主張を示せ。

(3) $a_{n} ≧ c > 2$ なら、 $m$ によらない $0 < r < 1$ が存在し、(1)の数列が $x_{n} < r^{m - n}$ を満たすことを示せ。

出典：東京大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

境界値問題を直接逆向きに解かず、初期値 $u_{0} = 0, u_{1} = 1$ の基本数列を作る。係数条件から基本数列が正で狭義増加するため、 $u_{n} / u_{m}$ が求める唯一の解になる。(3)は隣接項比を、方程式 $λ^{2} - c λ + 1 = 0$ の大きい根で下から評価する。

解答

(1)

$u_{0} = 0, u_{1} = 1$ とし

u_{n + 1} = a_{n} u_{n} - u_{n - 1} (n ≧ 1)

で定める。 $u_{2} = a_{1} ≧ 2 > u_{1}$ である。 $u_{n} > u_{n - 1} > 0$ なら

u_{n + 1} ≧ 2 u_{n} - u_{n - 1} > u_{n},

だから帰納法により $0 < u_{1} < u_{2} < \dots$ である。

元の漸化式を満たし $x_{0} = 0$ である数列は、 $x_{1}$ を決めれば一意に定まり、線形性から $x_{n} = x_{1} u_{n}$ である。したがって $x_{m} = 1$ とするには

x_{n} = \frac{u _{n}}{u _{m}}

とするほかない。これで存在と一意性が示され、狭義増加性から $0 < x_{n} < 1$ $(1 ≦ n < m)$ も従う。

(2)

$v_{0} = 0, v_{1} = 1$ とし

v_{n + 1} = a_{n} v_{n} - b v_{n - 1}

で定める。 $v_{2} = a_{1} ≧ 1 + b > 1$ であり、 $v_{n} > v_{n - 1} > 0$ なら

v_{n + 1} ≧ (1 + b) v_{n} - b v_{n - 1} = v_{n} + b (v_{n} - v_{n - 1}) > v_{n} .

よって $v_{n}$ も正で狭義増加する。(1)と同様に

y_{n} = \frac{v _{n}}{v _{m}}

が条件を満たす唯一の数列で、 $0 < y_{n} < 1$ $(1 ≦ n < m)$ である。

(3)

λ = \frac{c + c ^{2} - 4}{2} > 1, r = λ^{- 1} = \frac{c - c ^{2} - 4}{2}

とおくと $0 < r < 1$ である。(1)の基本数列に対し $R_{n} = u_{n} / u_{n - 1}$ $(n ≧ 2)$ とおく。 $R_{2} = a_{1} ≧ c > λ$ である。 $R_{n} > λ$ なら

R_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{R _{n}} ≧ c - \frac{1}{R _{n}} > c - \frac{1}{λ} = λ .

したがってすべての $n ≧ 2$ で $R_{n} > λ$ である。よって $1 ≦ n < m$ に対し

\frac{u _{m}}{u _{n}} = R_{n + 1} R_{n + 2} \dots R_{m} > λ^{m - n} .

(1)の $x_{n} = u_{n} / u_{m}$ を用いると

x_{n} < λ^{- (m - n)} = r^{m - n} .

この $r$ は $c$ だけで決まり、 $m$ には依存しない。

東京大学 2003年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2003年度
後期・理系数学後期第3問