東京大学 2003年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$p, q, N, M$ を自然数、 $p$ を非整数とする。

(1) 任意の自然数 $l$ で $(p - [p])^{l} = A p + B$ となる整数 $A, B$ の存在を示せ。

(2) $y = p x$ との距離が $1/ N$ 以下、 $x$ 座標が $N$ 以上の格子点の存在を示せ。

(3) 双曲線 $y^{2} - p x^{2} = q$ 上の点から距離 $1/ M$ 以下の格子点の存在を示せ。

(4) $p = 5, q = 2, M = 100$ でその格子点を一つ求めよ。

出典：東京大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$s = [p]$ , $α = p - s$ とおく。(1)は掛け算による帰納法。(2)は共役な数 $β = - p - s$ を使い、奇数乗で $A$ を大きくしながら $A p + B = α^{l}$ を小さくする。(3)はその格子点と双曲線の同じ $x$ 座標の点を比べる。

$s = [p]$ とおく。 $l = 1$ では $A = 1, B = - s$ とすればよい。 $α^{l} = A p + B$ と表せたとすると

α^{l + 1} = (A p + B) (p - s) = (B - A s) p + (A p - B s),

右辺の二係数は整数である。よって帰納法により示された。

$α = p - s$ , $β = - p - s$ とおくと $0 < α < 1$ , $∣ β ∣ > 1$ である。(1)の係数は共役を取って

A_{l} = \frac{α ^{l} - β ^{l}}{2 p}, B_{l} = \frac{α ^{l} + β ^{l}}{2}

と表せる。奇数 $l$ を大きくすれば $A_{l} > 0, - B_{l} > 0$ , $A_{l} \to \infty$ , $α^{l} \to 0$ である。したがって

A_{l} ≧ N, α^{l} ≦ \frac{p + 1}{N}

を同時に満たす奇数 $l$ を取れる。格子点 $Q = (A_{l}, - B_{l})$ と直線との距離は

\frac{∣ p A _{l} + B _{l} ∣}{p + 1} = \frac{α ^{l}}{p + 1} ≦ \frac{1}{N} .

またその $x$ 座標は $A_{l} ≧ N$ である。

\frac{p + 1}{N} + \frac{q}{2 p N} ≦ \frac{1}{M}

となるように十分大きな自然数 $N$ を取る。(2)の構成で得た第1象限の格子点を $Q = (X, Y)$ とすると

X ≧ N, ∣ Y - p X ∣ ≦ \frac{p + 1}{N} .

双曲線上の点

P = (X, p X^{2} + q)

を取れば

P Q = ∣ p X^{2} + q - Y ∣ ≦ ∣ p X - Y ∣ + \frac{q}{p X ^{2} + q + p X} ≦ \frac{p + 1}{N} + \frac{q}{2 p N} ≦ \frac{1}{M} .

よって所要の点が存在する。

格子点

Q = (305, 682)

を取る。 $P = (305, 465127)$ とすれば

(465127)^{2} - 5 \cdot 30 5^{2} = 2

なので $P$ は双曲線上にある。また $68 2^{2} = 465124$ だから

P Q = 465127 - 682 = \frac{3}{465127 + 682} < \frac{3}{1364} < \frac{1}{100} .

したがってこの $Q$ が一例である。