東京大学 2003年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

(1) $x ≧ 0$ で $x - x^{3} /3! ≦ sin x ≦ x - x^{3} /3! + x^{5} /5!$ を示せ。

(2) $y = sin x$ $(0 ≦ x ≦ π)$ の $x$ 軸回転体を、垂直な平面で等体積の $2 n$ 個に分ける。

(a) $π /2$ の直前の切断位置を $a_{n}$ とするとき、 $lim n (π /2 - a_{n})$ を求めよ。

(b) 最初の切断位置を $b_{n}$ とする。 $n^{p} b_{n}$ が0でない有限値へ収束する $p$ と極限値を求めよ。

出典：東京大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1)は差を作り、下側は3階、上側は5階まで微分すると $1 - cos x ≧ 0$ になることを使う。(2)では回転体の体積要素が $π sin^{2} x d x$ である。中央直前は $sin x \sim 1$ 、最初の切断は $sin x \sim x$ を使って尺度を決める。

F (x) = sin x - x + \frac{x ^{3}}{6}

とおくと $F^{'''} (x) = 1 - cos x ≧ 0$ であり、 $F (0) = F^{'} (0) = F^{''} (0) = 0$ である。したがって順に積分して $F (x) ≧ 0$ を得る。

同様に

G (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - sin x

とおくと $G^{(5)} (x) = 1 - cos x ≧ 0$ で、 $G (0) = G^{'} (0) = \dots = G^{(4)} (0) = 0$ である。よって $G (x) ≧ 0$ であり、二つの不等式が示された。

回転体の全体積は

π \int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \frac{π ^{2}}{2}

だから、一部分の体積は $π^{2} / (4 n)$ である。対称性より $x = π /2$ も切断位置であり、 $a_{n}$ との間が一部分だから

π \int_{a_{n}}^{π /2} sin^{2} x d x = \frac{π ^{2}}{4 n} .

$h_{n} = π /2 - a_{n}$ とおくと

\int_{0}^{h_{n}} cos^{2} t d t = \frac{π}{4 n} .

ここから $h_{n} \to 0$ であり、 $h^{- 1} \int_{0}^{h} cos^{2} t d t \to 1$ なので

n \to \infty lim n h_{n} = \frac{π}{4} .

最初の一部分について

\int_{0}^{b_{n}} sin^{2} x d x = \frac{π}{4 n} .

(1)から $sin x / x \to 1$ であるから

\frac{1}{b ^{3}} \int_{0}^{b} sin^{2} x d x = \int_{0}^{1} (\frac{sin ( b t )}{b t})^{2} t^{2} d t ⟶ \frac{1}{3} .

したがって

b_{n}^{3} \sim \frac{3 π}{4 n} .

よって $n^{p} b_{n}$ が0でない有限値に収束するのは

p = \frac{1}{3}

のときだけで、その極限は

n \to \infty lim n^{1/3} b_{n} = (\frac{3 π}{4})^{1/3}

である。