東京大学 2002年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

区間 $[0, 1]$ で $f (x) = 2 x (x ≦ 1/2)$ 、 $f (x) = - 2 x + 2 (x > 1/2)$ とする。 $0 ≦ a_{1} ≦ 1$ から $a_{n} = f (a_{n - 1}) (n ≧ 2)$ で数列を定める。

(1) $f (b) = b$ を満たす $b \in [0, 1]$ を求めよ。

(2) $a_{4}$ が固定点となる初期値 $a_{1}$ をすべて求めよ。

(3) ある項が固定点となる初期値を表せ。

(4) 初期値が(3)の条件を満たさないなら、 $a_{n} ≧ 3/4$ となる $n$ が存在することを示せ。

(5) 数列が収束するための初期値の必要十分条件を求めよ。

出典：東京大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1) 二つの一次式ごとに固定点を解く。(2)(3) 固定点集合の逆像を繰り返し取り、分母が2倍ずつ増えることを帰納法で示す。(4) 全項が $3/4$ 未満と仮定し、右枝に入った後の $2/3$ からの距離が毎回2倍になることから矛盾を出す。(5) 極限は連続性から固定点に限られ、各固定点近傍での距離の拡大を使う。

解答

(1)

$b ≦ 1/2$ では $2 b = b$ より $b = 0$ 。 $b > 1/2$ では $- 2 b + 2 = b$ より $b = 2/3$ 。したがって

b = 0, \frac{2}{3} .

(2)

固定点集合を $S = {0, 2/3}$ とする。 $f (x) = y$ の解は、 $0 < y < 1$ なら

x = \frac{y}{2}, 1 - \frac{y}{2}

である。逆像を3回取ると

{x \in [0, 1] : f^{3} (x) \in S} = {\frac{k}{12} : k = 0, 1, \dots, 12} .

よって

a_{1} = \frac{k}{12} (k = 0, 1, \dots, 12) .

(3)

逆像を一回取るごとに、隣り合う点の間隔は半分になる。実際、 $r ≧ 1$ に対して帰納的に

{x : f^{r} (x) \in S} = {\frac{k}{3 \cdot 2 ^{r - 1}} : k = 0, 1, \dots, 3 \cdot 2^{r - 1}}

となる。したがって求める初期値は

a_{1} = \frac{k}{3 \cdot 2 ^{m}} (m = 0, 1, 2, \dots, 0 ≦ k ≦ 3 \cdot 2^{m})

と表される有理数であり、逆にこれらはすべて条件を満たす。

(4)

(3)を満たさず、しかもすべての項が $3/4$ 未満だと仮定する。 $a_{n} \in (0, 1/2]$ の間は $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ だから、やがて $a_{N} \in (1/2, 3/4)$ となる。以後も $3/4$ 未満という仮定の下では右側の式が続き、

a_{n + 1} - \frac{2}{3} = 2 a_{n} - \frac{2}{3} (n ≧ N)

である。 $a_{N} = 2/3$ なら(3)に反し、そうでなければ左辺の距離は2倍を繰り返して、区間 $(1/2, 3/4)$ 内にとどまれない。いずれも矛盾する。よってある $n$ で $a_{n} ≧ 3/4$ となる。

(5)

(3)の形なら、ある項以後は $0$ または $2/3$ で一定となるから収束する。

逆に $a_{n} \to L$ とする。 $f$ は $[0, 1]$ で連続なので $L = f (L)$ 、従って $L = 0$ または $2/3$ である。 $L = 0$ のとき、十分先では左枝にあり、零でない限り次項は2倍となるため0へは収束できない。 $L = 2/3$ のときも、十分先では右枝にあり、 $2/3$ からの距離は零でない限り2倍となるため収束できない。従ってどちらの場合も、ある項が固定点そのものに一致する必要がある。

以上より必要十分条件は

a_{1} = \frac{k}{3 \cdot 2 ^{m}} (m = 0, 1, 2, \dots, 0 ≦ k ≦ 3 \cdot 2^{m})

である。

東京大学 2002年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

東京大学 2002年度
後期・理系数学後期第3問