東京大学 2002年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

実数全体で定義された関数 $f (x) = x e^{- x^{3}}$ を考える。

(1) $f (x)$ の増減・凹凸を調べ、グラフの概形を図示せよ。

(2) 正の数 $C$ に対し、 $y = f (x)$ 、 $x$ 軸、 $x = C$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を $V_{1} (C)$ とする。 $lim_{C \to \infty} V_{1} (C)$ を求めよ。

(3) $x ≧ 0$ における $f (x)$ の最大値を $M$ とする。 $y = f (x)$ 、 $y$ 軸、 $y = M$ で囲まれた領域を $y$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V_{2}$ を求めよ。

出典：東京大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) 一階・二階導関数の符号と両端での極限を整理し、極大点と変曲点を打つ。(2) 円板法で $π f (x)^{2}$ を積分し、 $u = x^{3}$ とおく。(3) 最大点までの領域を円筒殻に分け、半径 $x$ 、高さ $M - f (x)$ として積分する。

解答

(1)

f^{'} (x) = e^{- x^{3}} (1 - 3 x^{3}), f^{''} (x) = 3 x^{2} e^{- x^{3}} (3 x^{3} - 4) .

$α = 3^{- 1/3}$ 、 $β = (4/3)^{1/3}$ とおく。指数因子は常に正なので、 $f$ は $(- \infty, α)$ で増加し、 $(α, \infty)$ で減少する。また $β$ の前で上に凸、後で下に凸であり、 $x = β$ が変曲点である。なお $f^{''} (0) = 0$ だが、その前後で符号は変わらない。

f (0) = 0, f (α) = 3^{- 1/3} e^{- 1/3},

x \to - \infty lim f (x) = - \infty, x \to \infty lim f (x) = 0.

したがって概形は次のようになる。

(2)

円板法より

V_{1} (C) = π \int_{0}^{C} x^{2} e^{- 2 x^{3}} d x .

$u = x^{3}$ とおけば $d u = 3 x^{2} d x$ だから

C \to \infty lim V_{1} (C) = \frac{π}{3} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 u} d u = \frac{π}{6} .

(3)

(1)より $M = α e^{- 1/3}$ である。領域は $0 ≦ x ≦ α$ で $f (x) ≦ y ≦ M$ と表される。円筒殻法より

V_{2} = 2 π \int_{0}^{α} x {M - x e^{- x^{3}}} d x .

ここで $α^{3} = 1/3$ を用いると

\int_{0}^{α} x M d x = \frac{M α ^{2}}{2} = \frac{e ^{- 1/3}}{6},

\int_{0}^{α} x^{2} e^{- x^{3}} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1/3} e^{- u} d u = \frac{1}{3} (1 - e^{- 1/3}) .

よって

V_{2} = 2 π {\frac{e ^{- 1/3}}{6} - \frac{1}{3} (1 - e^{- 1/3})} = π (e^{- 1/3} - \frac{2}{3}) .

東京大学 2002年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2002年度
後期・理系数学後期第1問