東京大学 2002年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$x y z$ 空間に、 $a > b > 0$ として次の3つの合同な長方形を置く。

$L_{1}$ $x y$ 平面上で $P_{1} (a, b, 0), Q_{1} (- a, b, 0), R_{1} (- a, - b, 0), S_{1} (a, - b, 0)$ を頂点とする。

$L_{2}$ $y z$ 平面上で $P_{2} (0, a, b), Q_{2} (0, - a, b), R_{2} (0, - a, - b), S_{2} (0, a, - b)$ を頂点とする。

$L_{3}$ $z x$ 平面上で $P_{3} (b, 0, a), Q_{3} (b, 0, - a), R_{3} (- b, 0, - a), S_{3} (- b, 0, a)$ を頂点とする。3長方形の12頂点からできる、 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ または $△ P_{1} P_{2} S_{2}$ と合同な20面で囲まれる二十面体を $D$ とする。

(1) $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ の面積と、その平面から原点までの距離を求めよ。

(2) 四面体 $O P_{1} P_{2} P_{3}$ 、 $O P_{1} P_{2} S_{2}$ の体積を求めよ。

(3) $a = cos θ$ 、 $b = sin θ$ 、 $0 < θ < π /4$ とし、 $t = tan θ$ を用いて $D$ の体積 $V (t)$ を表せ。

(4) $0 < t < 1$ で $V (t)$ が最大となることを示し、そのときの $t$ を求めよ。

出典：東京大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) 三辺のベクトルの長さを比べて正三角形であることを示し、平面の方程式から高さを出す。(2) 3本の位置ベクトルの行列式を6で割る。(3) 原点を頂点とする20個の四面体に分け、対称性から2種類の体積を個数倍する。(4) $a, b$ を $t$ で表して微分し、導関数の符号を二次式に帰着する。

解答

(1)

P_{1} P_{2} = (- a, a - b, b), P_{1} P_{3} = (b - a, - b, a) .

他の辺も含め、三辺の長さの二乗はいずれも

2 (a^{2} - ab + b^{2})

である。したがって正三角形であり、その面積は

\frac{3}{4} \cdot 2 (a^{2} - ab + b^{2}) = \frac{3}{2} (a^{2} - ab + b^{2}) .

3点は平面 $x + y + z = a + b$ 上にあるから、原点との距離は

\frac{a + b}{3} .

(2)

位置ベクトルを列に並べた行列式を用いると

[O P_{1} P_{2} P_{3}] = \frac{1}{6} det a b 0 0 a b b 0 a = \frac{a ^{3} + b ^{3}}{6} .

同様に

[O P_{1} P_{2} S_{2}] = \frac{1}{6} det a b 0 0 a b 0 a - b = \frac{a ^{2} b}{3} .

(3)

20面のうち第1の型は8面、第2の型は12面である。原点と各面を結ぶ四面体に分割すると

V = 8 \cdot \frac{a ^{3} + b ^{3}}{6} + 12 \cdot \frac{a ^{2} b}{3} = \frac{4}{3} (a^{3} + b^{3}) + 4 a^{2} b .

$t = tan θ$ より

a = \frac{1}{1 + t ^{2}}, b = \frac{t}{1 + t ^{2}} .

したがって

V (t) = \frac{4 ( 1 + 3 t + t ^{3} )}{3 ( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}} .

(4)

微分すると

V^{'} (t) = \frac{4 ( 1 - t - t ^{2} )}{( 1 + t ^{2} ) ^{5/2}} .

分母は正であり、 $1 - t - t^{2} = 0$ の正の解は

t_{0} = \frac{5 - 1}{2}

で、これは $0 < t_{0} < 1$ を満たす。 $V^{'}$ は $(0, t_{0})$ で正、 $(t_{0}, 1)$ で負だから、 $V$ は $t = t_{0}$ で最大となる。

東京大学 2002年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2002年度
後期・理系数学後期第2問