問題
円周上に個の赤い点と個の青い点を任意の順序に並べる。これらの点により，円周は個の弧に分けられる。このとき，これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ。ただし，，であるとする。
出典：東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
円周に向きをつけ、隣り合う点の色が変わる弧を順に見る。異なる色を両端にもつ弧は、赤から青へ変わる弧と青から赤へ変わる弧のどちらかである。一周して出発点の色に戻るため、赤から青へ変わる回数と青から赤へ変わる回数は等しい。よって異色端点の弧の数はその2倍になる。
解答
円周に向きを1つ定め、その向きに沿って点を順に見る。隣り合う2点の色が異なる弧は、次の2種類に分けられる。 円周を一周すると、最後には出発点の色に戻る。したがって、赤から青へ変わったまま戻らないということはなく、赤から青へ変わる回数と青から赤へ変わる回数は必ず等しい。
この共通の回数を とする。すると、両端の色が異なる弧の数は である。これは2の倍数であるから、求める弧の数は偶数である。
別解。赤い点が連続して並ぶかたまりを考える。青い点も少なくとも1つあるので、各赤いかたまりには、入口と出口にあたる異色の弧が2本ずつ対応する。したがって異色の弧の数は赤いかたまりの個数の2倍であり、やはり偶数である。