東京大学 2002年度
文系数学 第1問

解答

交点のx座標は

を満たす。移項すると $2\sqrt{3}\{(x-\cos \theta {)}^2+(x+\cos \theta {)}^2\}+2\sin \theta =0$ である。ここで $(x-\cos \theta {)}^2+(x+\cos \theta {)}^2=2x^2+2{\cos }^2\theta$ だから $2\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+\sin \theta =0$ である。したがって $x^2=-\frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}-{\cos }^2\theta$ を得る。

相異なる2点で交わるためには、この右辺が正であることが必要十分である。右辺が0なら交点は1点、負なら交点はない。よって条件は $-\frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}-{\cos }^2\theta >0$ である。${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を用いると $-\frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}-1+{\sin }^2\theta >0$ であり、両辺に $2\sqrt{3}$ を掛けて $2\sqrt{3}{\sin }^2\theta -\sin \theta -2\sqrt{3}>0$ となる。この2次式の根は $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。後者は $1$ より大きく、$\sin \theta$ の値としては現れない。したがって $-1\leqq \sin \theta \leqq 1$ の範囲では $\sin \theta <-\frac{\sqrt{3}}{2}$ と同値である。 $0^{\circ }\leqq \theta <360^{\circ }$ でこれを満たすのは $240^{\circ }<\theta <300^{\circ }$ である。端点では交点が1点になるため含まない。