東京大学 2001年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

整数係数で2次の係数が正の二次式 $f (x)$ に対し、単位円上の点 $P (x) = (cos 2 π f (x), sin 2 π f (x))$ を定める。長さ $L (0 < L < 2 π)$ の固定弧 $I$ に対し、 $[k, k + 1]$ のうち $P (x) \in I$ となる区間の長さの総和を $T_{k}$ とする。 $lim_{k \to \infty} T_{k} = L / (2 π)$ を示せ。

出典：東京大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ と置き、十分大きい $k$ で単調増加とする。変数 $y = f (x)$ に移すと、 $[f (k), f (k + 1)]$ は整数個の1周期に分かれ、各周期で弧に対応する $y$ の長さは $L / (2 π)$ である。逆関数の微分を区間両端の $f^{'}$ で挟む。

解答

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ とおく。ただし $a$ は正の整数である。十分大きい $k$ では $f^{'} (x) = 2 a x + b > 0$ が $[k, k + 1]$ で成り立つので、以下そのような $k$ を考える。

M = f (k), N = f (k + 1), D = N - M

とおく。係数と $k$ は整数だから $M, N, D$ は整数であり

D = 2 ak + a + b .

$y = f (x)$ と変数を移すと、 $y$ は $[M, N]$ を動き、この区間は長さ1の区間を $D$ 個含む。各1周期の中で $P (x) \in I$ に対応する $y$ の集合の長さは

ℓ = \frac{L}{2 π}

である。弧が角度0の位置をまたぐ場合も、二つの区間に分かれるだけで長さの和は $ℓ$ である。

逆関数を $x = x (y)$ とすると

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{f ^{'} ( x ( y ))} .

$f^{'}$ は増加するから、 $k ≦ x (y) ≦ k + 1$ で

\frac{1}{f ^{'} ( k + 1 )} ≦ \frac{d x}{d y} ≦ \frac{1}{f ^{'} ( k )} .

弧に対応する $y$ の全長は $D ℓ$ なので、積分して

\frac{D ℓ}{f ^{'} ( k + 1 )} ≦ T_{k} ≦ \frac{D ℓ}{f ^{'} ( k )} .

ここで

f^{'} (k) = 2 ak + b, f^{'} (k + 1) = 2 ak + 2 a + b, D = 2 ak + a + b .

従って

\frac{D}{f ^{'} ( k + 1 )} \to 1, \frac{D}{f ^{'} ( k )} \to 1 (k \to \infty) .

はさみうちにより

k \to \infty lim T_{k} = ℓ = \frac{L}{2 π} .

東京大学 2001年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東京大学 2001年度
後期・理系数学後期第3問