東京大学 2001年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

任意の自然数 $n ≧ 2$ に対して常に

n - k = 2 \sum n \frac{k}{k ^{2} - 1} ≧ \frac{i}{10}

が成立するような最大の整数 $i$ を求めよ。

出典：東京大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

左辺を $1 - \sum d_{k}$ 、 $d_{k} = k / k^{2} - 1 - 1$ と書く。まず $d_{k}$ を望遠和になる $1/ [2 (k^{2} - 1)]$ で上から押さえて $i = 6$ を保証する。次に $n = 40$ で $d_{k}$ を下から評価し、 $i = 7$ が不可能と示す。

解答

d_{k} = \frac{k}{k ^{2} - 1} - 1

とおく。すると問題の左辺 $A_{n}$ は

A_{n} = 1 - k = 2 \sum n d_{k}

である。ここで

d_{k} = \frac{1}{k ^{2} - 1 { k + k ^{2} - 1 }} ≦ \frac{1}{2 ( k ^{2} - 1 )} .

最後の不等式は $k^{2} - 1 ≦ k$ と同値である。従って

k = 2 \sum n d_{k} ≦ \frac{1}{2} k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{4} k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1}) < \frac{3}{8} .

よって

A_{n} > 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} > \frac{6}{10}

であり、 $i = 6$ はすべての $n$ で条件を満たす。

一方、 $d_{k} > 1/ (2 k^{2})$ である。また正の量を平方して比較すれば

d_{2} > \frac{3}{20}, d_{3} > \frac{3}{50}, d_{4} > \frac{3}{100}, d_{5} > \frac{1}{50}

が分かる。従って

k = 2 \sum 40 d_{k} > \frac{13}{50} + 5 \cdot \frac{1}{200} + 10 \cdot \frac{1}{800} + 20 \cdot \frac{1}{3200} = \frac{243}{800} > \frac{3}{10} .

ここでは $6 ≦ k ≦ 10$ 、 $11 ≦ k ≦ 20$ 、 $21 ≦ k ≦ 40$ の3群で $1/ (2 k^{2})$ をそれぞれ一様に下から押さえた。従って

A_{40} < 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10},

なので $i = 7$ は条件を満たさない。

以上より最大の整数は

i = 6

である。

東京大学 2001年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東京大学 2001年度
後期・理系数学後期第1問