東京大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

(1) 間隔 $h$ の正方格子上へ半径1の円を無作為に落とす。この円がちょうど2本の格子線と交わる確率 $p$ を求めよ。

(2) 半径 $2 + 1$ の円が、隣接円と接する三角格子状に無数に並ぶ平面へ半径1の円を無作為に落とす。この円がちょうど3つの既存円と交わる確率 $q$ を求めよ。

出典：東京大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) 円の中心を一つの $h \times h$ 基本正方形に限定し、各座標方向で距離1以内にある格子線の本数を数える。 $h ≦ 1$ 、 $1 < h < 2$ 、 $h ≧ 2$ で場合分けする。(2) 既存円の中心が作る正三角形を基本領域とし、3頂点を中心とする半径 $2 + 2$ の円の共通部分の面積を求める。

解答

(1)

円の中心を一つの格子正方形 $[0, h] \times [0, h]$ に限定する。ある座標方向について、中心から距離1以内にある格子線の本数を $N$ とする。

$h ≧ 2$ では $N = 1$ となる部分の長さは2、 $N = 0$ となる部分の長さは $h - 2$ である。ちょうど2本と交わるには縦横とも $N = 1$ であればよいから

p = \frac{2 ^{2}}{h ^{2}} = \frac{4}{h ^{2}} .

$1 < h < 2$ では各方向で少なくとも1本と交わる。ちょうど1本と交わる座標の範囲は両端側に長さ $h - 1$ ずつあり、合計 $2 (h - 1)$ である。従って

p = \frac{{ 2 ( h - 1 ) } ^{2}}{h ^{2}} = \frac{4 ( h - 1 ) ^{2}}{h ^{2}} .

$0 < h ≦ 1$ では各方向で少なくとも2本の格子線と交わるので、合計が2本になることはない。以上より

p = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{4 ( h - 1 ) ^{2}}{h ^{2}} \frac{4}{h ^{2}} (0 < h ≦ 1), (1 < h < 2), (h ≧ 2) .

境界上の接触は面積0の集合なので確率に影響しない。

(2)

既存円の半径を $R = 2 + 1$ とする。隣接する中心間距離は

d = 2 R = 2 (2 + 1) .

小円が既存円と交わるための中心間距離は

R - 1 = 2 以上, R + 1 = ρ = 2 + 2 以下

である。ここで

d = 2 ρ .

隣接3中心が作る正三角形を基本領域とする。小円がこの3円すべてと交わる中心位置は、3頂点を中心とする半径 $ρ$ の3円の共通部分 $F$ である。この共通部分では、ある頂点までの距離が $2$ 未満なら別の頂点までの距離が $d - 2 = ρ$ を超えるため、下限条件も自動的に満たされる。またこの半径では4中心との同時交差は起こらない。

2円の内側の交点を3組取ると、それらは一辺

s = ρ 2 - 3

の正三角形を作る。各頂点中心で共通部分を囲む弧の中心角は $π /6$ である。従って

∣ F ∣ = \frac{3}{4} s^{2} + 3 \cdot \frac{ρ ^{2}}{2} (\frac{π}{6} - \frac{1}{2}) = \frac{ρ ^{2}}{4} (π + 23 - 6) .

基本正三角形の面積は

\frac{3}{4} d^{2} = \frac{3}{2} ρ^{2} .

よって

q = \frac{∣ F ∣}{( 3 /2 ) ρ ^{2}} = \frac{π + 2 3 - 6}{2 3} .

東京大学 2001年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問