問題
背番号1から5までを順に付けた5人が，何も置かれていないテーブルに向かっている．最初5人は各自3枚のコインを持っている．それを背番号順に必ず1枚または2枚テーブルの上に置いてゆく．ただし，手もとに2枚以上のコインがあるときに1枚だけコインを置く確率をとし，は人によらず一定とする．
背番号5の人が置き終わったところ(一巡目が終わったところ)で，再び背番号1の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく．
(1) 一巡目が終わったとき，テーブルの上に7枚のコインが置かれている確率を求めよ．また，そのを最大にするの値と，そのときのの値を求めよ．
(2) 一巡目を終えるとき，背番号5の人が，テーブル上に7枚目のコインを置く確率を求めよ．また，そのを最大にするの値を求めよ．
(3) 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ．
方針
(1) 一巡目の総枚数を「2枚置いた人数」で数える。(2) 5番の直前が5枚または6枚の場合を分ける。(3) 各人について二巡後に1枚残る事象の確率を求め、期待値の加法性を用いる。
解答
(1)
一巡目に1枚置く人が3人、2枚置く人が2人なら、総数は7枚になる。従って
で微分すると
従って最大にする値は
であり、そのとき
(2)
5番の人が7枚目を置くのは、最初の4人が置いた枚数が次のいずれかの場合である。
最初の4人のうち2枚置く人が1人なら総数は5、2人なら総数は6である。従って
端点では である。 で微分し、正の因子を除くと、極値条件は
となる。区間 にある解は
従ってこれが を最大にする である。
(3)
一人に注目する。一巡目に2枚置けば、二巡目には残り1枚を必ず置く。一巡目に1枚置いた場合、二巡目にも1枚だけ置く確率は である。従って二巡目終了時にその人の手元に1枚残る確率は
よって、その人が二巡目までに置く枚数の期待値は
5人について期待値を加えると、テーブル上のコイン数の期待値は